二叉树的性质

Posted 2021-04-09 未语先森

二叉树的性质

二叉树的概念以及特点

概念：

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合或者为空，或者由一个根节点加上两棵左子树和右子树组成

特点：

 1、每个节点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的节点

 2、二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒

二叉树的性质

性质1：

 在二叉树的i层至多有2的i-1次方个结点

【性质一】

证明步骤：

1） i=1时，只有一个根节点，根据公式2的i-1次方，所以第一层的时候是1个。结论成立

2） 假设对于所有的j（1<=j<=i）命题成立，即第j层上之多有2的j-1次方个结点，则可以证明j=i时，命题成立

3）由归纳假设2），第i-1层至多有2的i-1-1次方个结点，又因为每个结点至多有两个儿子，所以，第i层最多的结点数为2乘2的i-1-1次方等于2的i-1次方

性质2

深度为k的二叉树至多有2的k-1次方

证明过程

【证明过程】

性质3

对于任何一棵二叉树，若度为2的结点数n2个，则叶结点个数n0必有n+1，即n0=n2+1

证明过程

【证明过程】

性质4

满二叉树：
    深度为k且有2的k次方-1个结点的二叉树。（每一层都是满的）
编号约定：

    从根开始，自上而下查下，自左而右，依次编号

【满二叉树】

完全二叉树：

    深度为k且有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都有深度为k的满二叉树中编号到n一一对应

【完全二叉树】

左一图片为完全二叉树，虽然不是满二叉树，但是除了最后一层其他层是满的并且最后一个节点居左排列，而图二并不是完全二叉树，因为第三层不满

性质5

具有n个结点的完全二叉树的深度必为（取下整log2的n次方）+1

证明过程

深度为k的完全二叉树最少有2的k-1次方个结点。最多有2的k的次方-1个结点。

性质6

对完全二叉树至，若自上而下，从左向右编号，则：

编号为i的结点，左儿子的编号为2i；右儿子编号为2i+1；

  对于编号为1的结点为根节点，无双亲，若i>1，则双亲的编号必为1/2取下整

END

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