动态查找表---平衡二叉树

Posted 2021-04-09 小小的龙猫

问题：

对于二叉排序树，假如给出一个{1，2，3，4，5，6}这样的数列，那么该树的一侧便会过长，一侧会过短，导致查询效率过低，为了解决这样的问题，提出了平衡二叉树。

平衡二叉树：

平衡二叉树也叫做平衡二叉搜索(查找)树，又被称为AVL树。具有如下性质:

(1) 它必须是二叉搜索(查找)树

(2) 它的每个节点的左右子树的高度之差都不超过1，左右子树都是一颗平衡二叉树。

平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。(这里的AVL指的是算法，AVL算法，不是AVL树的意思)

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调整方式：

一、单旋 （左旋、右旋）

1、左旋

(1)创建一个新的节点newNode，创建一个新的节点，值等于当前根节点的值
(2)把新节点的左子树设置为当前节点的左子树
newNode.left = left
(3)把新节点的右子树设置为当前节点的右子树的左子树
newNode.right = right.left
(4)把当前节点的值换为右子节点的值
value = right.value
(5)把当前节点的右子树设置为右子树的右子树
right = right.right
(6)把当前节点的左子树设置为新节点
left = newNode

2、右旋

(1)创建一个新的节点newNode，创建一个新的节点，值等于当前根节
(2)把新节点的右子树设置为当前节点的右子树
newNode.right = right
(3)把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树
newNode.left = left.right
(4)把当前节点的值换为左子节点的值
value = left.value
(5)把当前节点的左子树设置为左子树的左子树
left = left.left
(6)把当前节点的右子树设置为新节点
right = newNode

二、双旋

我们会发现，对于有些树，单旋是无法解决问题的：

问题分析：
当符合右旋的条件时（左旋同理），如果它的左子树的右子树高度大于它的右子树高度，假设左子树的高度为x,右子树的高度为（x-2），左子树的左子树高度（x-2）,左子树的右子树高度（x-1）
右旋后：左子树的高度为x-2，右子树的高度x((x-1)+1=x),仍不满足平衡二叉树

解决：先对这个结点的左节点进行左旋转，再对当前结点进行右旋转即可。

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代码实现：

package cn.wangqin;
public class Demo { public static void main(String[] args) {        int[] arr = {4,3,6,5,7,8};        //int[] arr = {10,12,8,9,7,6}; //int[] arr = {10,11,7,6,8,9};
 AVLTree at = new AVLTree();
 for(int i=0;i<arr.length;i++) { at.addNodeTree(new Node(arr[i])); }
 at.treeInOrder();
 System.out.println(at.getRoot().height()); System.out.println(at.getRoot().leftHeight()); System.out.println(at.getRoot().rightHeight()); }}
class AVLTree { private Node root;
 public Node getRoot() { return root; }
 public void addNodeTree(Node node) { if (root == null) { root = node; }else { root.nodeAdd(node); } }
 //通过中序方式遍历 public void treeInOrder() { if(root == null) { return; }else { root.inOrder(); } }
}
class Node { int value; Node left; Node right;
 public Node(int value) { this.value = value; }
 @Override public String toString() { return "Node{" + "value=" + value + '}'; }
 //递归形式添加节点，注意要满足二叉排序树 public void nodeAdd(Node node) { if(node == null) { return; }
 if(node.value < this.value) { if(this.left == null) { this.left = node; }else { this.left.nodeAdd(node); } }else { if (this.right == null) { this.right = node; }else{ this.right.nodeAdd(node); } }
 //添加节点后，判断是否需要旋转 if(rightHeight()-leftHeight()>1) {            //是否需要双旋进行判断            if(left!=null && left.rightHeight()>left.rightHeight()) {                right.leftRotate(); leftRotate();            }else { leftRotate(); }
 //必须有，已经平衡后就不需要向下判断了，也防止其它情况发生 return; }
 if(leftHeight()-rightHeight()>1) {            //是否需要双旋进行判断 //如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度 if(left!=null && left.rightHeight()>left.rightHeight()) { //先对当前节点的左节点（左子树）-->左旋转 left.leftRotate(); //再对当前节点进行右旋转 rightRotate(); }else { //直接进行右旋转即可 rightRotate(); } } }
 public void inOrder() { if(this.left != null) { this.left.inOrder(); } System.out.println(this); if (this.right != null) { this.right.inOrder(); } }

 //返回左子树高度 public int leftHeight() { if(this.left == null) { return 0; }else { return this.left.height(); } }
 //返回右子树高度 public int rightHeight() { if(this.right == null) { return 0; }else { return this.right.height(); } }
 //返回以当前节点为根节点的树的高度：每递归一次高度加1,到最后一个叶子节点便不递归 public int height() { return Math.max(this.left==null?0:this.left.height(),this.right==null?0:this.right.height())+1; }
 //左旋转 public void leftRotate() { Node newNode = new Node(this.value); newNode.left = this.left; newNode.right = this.right.left; this.value =this.right.value; this.right = this.right.right; this.left = newNode; }
 //右旋转 public void rightRotate() { Node newNode = new Node(this.value); newNode.right = this.right; newNode.left = this.left.right; this.value =this.left.value; this.left = this.left.left; this.right = newNode; }}

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疑惑解答：递归中的this代表哪个节点？

在Node类中的addNode() 方法中，有一段左右高度判断代码：

rightHeight()-leftHeight()>1

虽然没有加this，但是我们知道其实就是this.rightHeight()。那么递归中this代表哪个数据项呢？

以{10，12，8，9，7，6}为例，每次从根节点开始添加完节点后，其实是这样进行高度比较的，我们首先在addNode（）方法中添加代码：

System.out.println(this);

然后输出：10，10，8，10，8，10，7，8，10

其实应该分割成：10，10，(8，10)，(8，10)，(7，8，10)

以添加叶子节点6为例：（输出：7，8，10）

(1) 从root开始递归，然后最后添加6，递归过程中不会执行高度判断代码，直到执行到最后叶子节点。

(2) 首先this代表7，然后才向下执行左右高度判断代码，左右子树符合平衡条件

(3) 然后返回上一级的递归，此时this代表8，也执行高度高度判断代码

(4) 然后再继续返回上一级的递归，此时thi代表10，也执行高度高度判断代码，不符合平衡条件，这时候才会进行旋转调整。

也就是添加节点后，节点从下向上开始判断左右平衡，不平衡就旋转调整

因此输出this，会出现7，8，10这种从下到上这种情况。