Hard 级：二叉树中的最大路径和

Posted 2021-04-09 算法刷题日记

今天分析的这道题目，是LeetCode上 Hard 级别的一道题目，虽然代码行数只有 10 来行。

一 先来看看题目

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。本题中，路径被定义为一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

示例 1：

输入：[1,2,3]

       1

      /

     2   3

输出：6

示例 2：

输入：[-10,9,20,null,null,15,7]

   -10

   /

  9  20

    / 

   15   7

输出：42

链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-maximum-path-sum

二 分析

这道题目的思路基本可以套用 最大子数组和 ，如果之前并不熟悉最大子数组和的动态规划解法，这道题可能就非常难，关于 最大子数组和，可以参考我昨天整理的完整分析，算是动态规划的入门篇：

最大子数组和，动规解法，可以看作一维的；二叉树子树和，可以看作二维的，思路具有一致性。

最大二叉子树和，也有一个包含当前节点的最大收益定义：current_sum，它被定义为：node.val + max( preOrder(node.left), preOrder(node.right) )，这是二维最大子树问题的关键决策方程，或者状态转移方程。

下面通过题目给出的二叉树为例，解释上面的决策方法：

待求解的二叉树：

自底向上(bottom-up)，分别求出每个节点的current_sum，对于叶节点，current_sum等于自身值，但是需要注意：如果current_sum小于0，直接丢弃此节点，认为贡献值为0，所以每个节点的current_sum都是不小于0的：

而节点20的 current_sum 等于：

节点 -10 的 current_sum 等于节点 20 和节点 9 最大值，加上 -10：

这样求解出每一个节点的 current_sum，这部分代码可以写为：

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:
        self.best_sum = float('-inf')
        
        def preOrder(node):
            # 空节点返回 current_sum, 0
            if not node:
                return 0
            
            # preOrder(node.left) < 0 ，丢弃左子树
            current_sum_left = max(preOrder(node.left), 0)
            # 同理， < 0，丢弃右子树
            current_sum_right = max(preOrder(node.right), 0)
         
            # 包括当前节点的最大累积和，编个名词，就说包括node节点的最大贡献值
            current_sum = node.val + max(current_sum_left,current_sum_right)
            return current_sum
            
        preOrder(root)
        return self.best_sum

接下来，如何找出最大路径和呢？

我们可以在上面自底向上递归的同时，寻找出每个节点对应的最大路径path_sum，对于node节点的path_sum，通过公式：path_sum = node.val + current_sum_left + current_sum_right 求出，如果current_sum_left 等于0，current_sum_right 等于0，则path_sum等于node.val:

同理，还有如下三种情况：

选择最大的path_sum，就得到最大二叉子树和

三 完整代码

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:
        self.best_sum = float('-inf')
        
        def preOrder(node):
            # 空节点返回 current_sum, 0
            if not node:
                return 0
            
            # preOrder(node.left) < 0 ，丢弃左子树
            current_sum_left = max(preOrder(node.left), 0)
            # 同理， < 0，丢弃右子树
            current_sum_right = max(preOrder(node.right), 0)
            # 路径的意味就出来了，
            # 可能4种情况：
            # 1) 路径只有node节点
            # 2)3) 仅有左子树、仅有右子树
            # 4) 都有左、右子树
            path_sum = node.val + current_sum_left + current_sum_right 
            # 选择最大的current_sum
            self.best_sum = max(self.best_sum, path_sum)

            # 包括当前节点的最大累积和，编个名词，就说包括node节点的最大贡献值
            current_sum = node.val + max(current_sum_left,current_sum_right)
            return current_sum
            
        preOrder(root)
        return self.best_sum

希望此文对大家有帮助！

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