十三彻底搞懂平衡二叉树AVL
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了十三彻底搞懂平衡二叉树AVL相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
这是EZ大数据的第17篇原创文章
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--达利欧《原则》
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今天来个重头戏:平衡二叉树AVL。
由前面对二分搜索树的研究可知,在最坏的情况下,二分搜索树会退化成链表,此时时间复杂度为 O(n)。
因此我们引入平衡二叉树,它是一种结构平衡的二分搜索树。那么,在二分搜索树的基础上,平衡二叉树需要满足两个条件:
1.它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1
2.左右两个子树都是一颗平衡二叉树
AVL树是最早的自平衡二分搜索树结构,AVL树维护自身的平衡涉及到两个概念:
1.节点的高度
2.平衡因子:左子树的高度减去右子树的高度。
平衡因子的取值只可能为0,-1,1。分别对应着左右子树等高,左子树比较高,右子树比较高。如果平衡因子绝对值大于等于2,那么就不是平衡二叉树。
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对于平衡二叉树的判断,首先我们要判断是否为二分搜索树,根据之前的总结,根节点大于左子树节点同时小于右子树节点,我们用中序遍历来判断一棵树是否为二分搜索树。具体如下:
// 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
public boolean isBST() {
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for (int i = 1; i < keys.size(); i++) {
// 判断左节点和右节点大小
if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0) {
return false;
}
}
return true;
}
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys) {
if (node == null) {
return;
}
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
接下来我们计算节点的高度和平衡因子的值。初始设定高度height=1,那么节点高度的变化和平衡因子的计算,主要是在添加元素时,那么现在就需要修改之前我们BST的代码:
// 获得节点node的高度值
private int getHeight(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return node.height;
}
// 获得节点node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value),递归算法
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else // key.compareTo(node.key) == 0
{
node.value = value;
}
// 更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
System.out.println("unbalanced: " + balanceFactor);
}
return node;
}
如上代码所示,当插入元素时,节点的高度发生变化,并且当前位置节点的高度=1+左右节点高度最大值。在计算平衡因子中,主要是获取左右节点高度的差值。
那么现在我们来判断是否为一棵平衡二叉树。
判断标准即为,左子树和右子树高度差的绝对值是否大于1。采用递归思想实现代码:
// 判断该二叉树是否是一棵平衡二叉树
public boolean isBalanced() {
return isBalanced(root);
}
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null) {
return true;
}
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
return false;
}
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
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当我们插入元素时,有可能破坏平衡二叉树的结构,所以当加入节点后,需要沿着节点向上维护平衡性。
最小失衡子树:在新插入的结点向上查找,以第一个平衡因子的绝对值超过1的结点为根的子树称为最小不平衡子树。
平衡二叉树的失衡调整主要是通过旋转最小失衡子树来实现,左旋与右旋。
现在来看左旋RR:插入的元素在不平衡的节点的右子树的右子树。此时的操作主要是:
1.节点的右孩子替代此节点位置
2.右孩子的左子树变为该节点的右子树
3.节点本身变为右孩子的左子树
如下图所示:
节点的右孩子替代此节点位置 —— 节点 66 的右孩子是节点 75 ,将节点 75 代替节点 66 的位置;
右孩子的左子树变为该节点的右子树 —— 节点 75 的左子树为节点 70,将节点 70 挪到节点 66 的右子树位置;
节点本身变为右孩子的左子树 —— 节点 66 变为了节点 75 的左子树。
具体实现代码如下:
// 对节点y进行向左旋转操作,返回旋转后新的根节点x
// y x
// / /
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / - - - - - - - -> / /
// T2 z T1 T2 T3 T4
// /
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y){
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = 1 + Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right));
x.height = 1 + Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right));
return x;
}
现在我们来看右旋LL:插入的元素在不平衡的节点的左子树的左子树。此时的主要操作是:
1.节点的左孩子替代此节点
2.节点的左孩子的右子树变为节点的左子树
3.节点本身变为左孩子的右子树
示意图如下:
实现逻辑类似左旋RR。
直接看代码实现:
// 对节点y进行向右旋转操作,返回旋转后新的根节点x
// y x
// / /
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / - - - - - - - -> / /
// z T3 T1 T2 T3 T4
// /
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
// 向右旋转过程
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height
y.height = 1 + Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right));
x.height = 1 + Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right));
return x;
}
现在我们来看两个稍微难点的LR和RL。
LR:插入的元素在不平衡的节点的左子树的右子树。
示意图如下:
此时的解决办法就是,先进行左旋转,将树结构调整为LL结构,然后再进行右旋转,实现AVL。
RL:插入的元素在不平衡的节点的右子树的左子树。
示意图如下:
此时的解决办法为:先进行右旋转,然后再进行左旋转。
综合上述四种情况,实现汇总代码如下:
// 平衡维护
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) { // 此时说明是在左子树的左子树添加元素,使用右旋转
return rightRotate(node);
}
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) { // 此时说明是在右子树的右子树添加元素,使用左旋转
return leftRotate(node);
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) { // 此时说明是在左子树的右子树添加元素,先使用左旋转,再使用右旋转
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) { // 此时说明是在右子树的左子树添加元素,使用右旋转,再使用左旋转
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
关于平衡二叉树AVL的总结,今天就到这里,在总结过程中,对于二分搜索树以及AVL的特点有了更深的理解。同时对于递归思想的实现也有了更深刻的认识。特别有意思的就是左旋RR、右旋LL以及更为复杂的RL和LR的操作。
后续再总结一波红黑树。
今天就到这里吧,拜了个拜~
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