树 Story —— 平衡二叉树

Posted 2021-04-09 后端早读课

- 树 Story 第二篇 -

平衡二叉树

本文详细阐述了平衡二叉树原理，适合新手阅读，以及老手回顾。

全文一千九百字，阅读时间 10 分钟。

在计算机科学中，AVL 树是最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树。二叉查找树查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是 O(log n)。AVL 树得名于它的发明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中公开了这一数据结构。

平衡二叉树，又被称为「AVL树」，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

（我们平时所说的平衡二叉树，大部分指的是平衡二叉排序树，但是单说平衡二叉树的话，并不一定是有序的）

平衡二叉树

以上三个都是二叉平衡树，只要满足左右子树高度差不超过 1 ，就是平衡二叉树。

子树高度

而上图虽然和上上面三个二叉树很像，但是它是不平衡的，节点 18 的左子树高度是 0，而右子树高度是 2，所以它不是平衡二叉树。

如何将不平衡二叉树调节成平衡二叉树呢？

在平衡二叉树插入或删除之前，二叉树一定是平衡的。插入或删除节点，导致了二叉树不平衡。

插入导致不平衡状态有四种情形：左左、左右、右右、右左。

插入节点

左左 (LL)：根节点左子树下的左子树下插入

插入节点 LL

左右 (LR)：根节点左子树下的右子树插入

插入节点 LR

右右 (RR)：根节点右子树的右子树插入

插入节点 RR

右左 (RL)：根节点右子树的左子树插入

插入节点 RL

为什么要分四种情况呢？因为四种的插入方式，会导致不同的平衡策略。

其实这四种情况，可以缩减为两种，剩下的两种只是相互对称的处理方式。

进行平衡的操作我们称之为「左旋」或者「右旋」

如果情况是 左左（右右）那么可以通过一次右旋（左旋）即可完成平衡，而左右（右左）则需要左旋+右旋（右旋+左旋）来完成平衡，下面我们分别介绍一下这四次平衡的过程。

左左(LL)：

右旋节点10

当插入节点属于「左左」时，我们只需要将根节点「右旋」，即可使二叉树平衡。右旋的流程如下

右旋过程

假设需要右旋节点 10，蓝色标记。将节点 10 的左子节点向上提到根节点 10 的位置，节点 10 移动为节点 7 的右子节点，而节点 7 的原右子节点则成为节点 10 的左子节点。

右右则正好相反，需要进行左旋。左旋的流程如下

左旋过程

左右 (LR)：

左旋 + 右旋

当时左右或者右左的时候，需要进行两次旋转才可以使二叉树平衡。

左右的时候，需要先将插入的节点 5 的祖父节点 3 进行左旋，然后再将节点 3 的祖父节点 7 右旋 ，最后得到一个平衡二叉树。重申一下平衡二叉树的原则：左右子树的高度之差不能大于 1。

右左的情况同理，只是进行对称操作。

删除节点

相比于插入，删除反而要更复杂一些。

删除的场景有：

• 删除叶子节点
• 删除节点只有左子树
• 删除节点只有右子树
• 删除节点有左子树和右子树

删除节点后，如果出现不平衡，则需要进行平衡调整。平衡调整逃不过 LL、RR、LR、RL 的情况，所以不管树出现了哪种不平衡，都可以通过左旋和右旋来使不平衡的二叉树变得平衡。

下面举出几个具体例子：

1. 被删除的节点没有子节点

如果删除的节点 1 没有子节点，直接删除就好。

2. 被删除的节点有左子节点和右子节点

删除节点 7

如果删除的节点 7 有左右节点，则选择「左子树-最大节点 6」或者「右子树-最小节点 8 」与被删除的节点交换，并移除交换后的节点。

如果左子树和右子树的高度不一致，通常选择高度较高的子树进行替换。此例子中选择了左子树的最大节点 6 与被删除的节点 7 进行了替换。

如果删除的节点 3 有左右节点，可以选择「左子树-最大节点」或者「右子树-最小节点」

如果左右高度一致，比如删除节点 3，那么可以选择后继节点 6 与节点 3 替换后，删除节点 3。（选择节点 1 替换可以达到同样目的，理论上也是合理的）

3. 删除节点后出现不平衡

删除节点 8 后，导致不平衡，则需要针对不同情况进行旋转操作，让不平衡转为平衡。

删除节点后的不平衡，也分为四种情况，这四种情况与插入一个新节点是一样的。可以理解成，删除一个节点导致不平衡，等于新插入一个节点导致不平衡。

上面的例子中，删除节点 8，相当于在节点 8 的父节点节点 7 的左子树插入新节点（不管是节点 1 还是节点 6 ）。同插入节点的左左 LL 的情形。所以进行一次右旋即可使树平衡。

总结

平衡二叉树是为了解决树的高度过高的问题。

对于二叉查找树，如果高度过高，会导致二分查找效率变低，会从 O(logn) 甚至变成 O(n) 的复杂度。

所以我们需要将二叉查找树的高度降低，宽度变大，就成为了平衡二叉排序树。

平衡二叉树的任意节点的两个子树高度之差不能大于 1 。平衡二叉排序树继承了二叉查找树的规则。

平衡二叉树不一定是有序的，不过大部分的时候默认是平衡二叉排序树。平衡二叉树家族中，有另外一个耳熟能详的数据结构——红黑树。