函数式编程中不动点函数原理和实现

Posted 2021-04-09 丁狗蛋的闲扯

感觉关于不动点函数的讲解网上没有说的特别清楚的，我来解释一下。
首先不动点函数解决的是递归问题，准确的说是匿名函数的递归问题，匿名函数没有函数名称很难直接自己构建递归关系，所以需要依赖不动点函数来进行递归。

我们用乘法计算来举例，通过加法递归来实现乘法
普通的实现如下：
f(x,0)=0
f(x,y)=x+f(x,y-1)

当然这在具备函数名的时候很容易实现
function mult(x,y){
if (y==0){
return 0
}else{
x+mult(x,y-1)
}
}

在匿名函数时就比较困难了，首先因为无法利用自己递归，我们需要引入一个外部函数

function anonymousMult(f,x,y){
if (y==0){
return 0
}else{
x+f()(x,y-1)
}
}

其中如果要实现递归关系f()的执行结果就要满足如下函数形式
anonymousMult f
这样才能满足递归条件

这样核心问题就变成了构建f这样一个函数，而这个函数就是不动点函数

这个函数的形式如下
λf.(λs.(f (s s)) λs.(f (s s)))(anonymousMult)

代入anonymousMult =>
(λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s)))

执行一下(将右边的λs.(anonymousMult (s s))代入左边表达式的λs)变为
anonymousMult(λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s)))

满足了上面提到的递归条件

我们可以用3*2作为例子演示一下
λf.(λs.(f (s s)) λs.(f (s s)))(anonymousMult) （3，2）=>

anonymousMult((λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s))),3,2){
if (2==0){
return 0
}else{
3+(λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s)))()(3,1)
}
} =>

3+anonymousMult((λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s))),3,1) =>

3+anonymousMult((λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s))),3,1){
if (1==0){
return 0
}else{
3+(λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s)))()(3,0)
}
} =>

3+3+anonymousMult((λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s))),3,0)=>

3+3+anonymousMult((λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s))),3,0){
if (0==0){
return 0
}else{
3+(λs.(anonymousMult (s s)) λs.(anonymousMult (s s)))()(3,-1)
}
} =>

3+3+0=6

完成

具体的程序实现如下，因为已经有了函数式，我们要做的就是构建具体的函子
第一个函子是(s s)

实现如下：
function normal(s){
return function() {return s(s)}
}

第二个函子是
λf.(λs.(f (s s)) )

实现如下：
function self(recursiveFunc){
return function (s){
f=normal(s);
return recursiveFunc(f)}
}

通过这两个函子就可以构建不动点函数（不动点函数又叫Y函子）

function lamdaY(func){return self(func)(self(func))}

最后我们代入一个匿名函数就可以执行了

假设计算3*4

lamdaY(function(func){return function(x,y){if(y==0){return 0}else{return x+func()(x,y-1)}}})(3,4)

得到结果12

同样的，计算斐波那契数

lamdaY(function(func){
return function(x){
if(x==0){return 0}
else if(x==1){return 1}
else {
return func()(x-1)+func()(x-2)
}
}
})(10)

得到结果55

实现完成

关于函数式编程的理论，建议阅读
Greg Michaelson写的
AN INTRODUCTION TO FUNCTIONAL PROGRAMMING THROUGH LAMBDA CALCULUS
整体解释的非常完整