54张牌分给4人有多少种分法？

Posted 2023-05-07

54张牌分给4人有多少种分法？

一副牌共54张，每张都不同。分给4个不同的人，每人都必须分到至少1张。

问：一共有多少种不同的分法？
（答案要求精确到个位数）

可以参考第二类斯特林数的公式来计算，具体公式证明可在百度上搜索一下，结果如附图所示（图中的k应改为m）：

追问

有道理。

我今早通过递归分析，也找到了具体算法。具体实现用了顺向循环，实际过程是等效的。

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可否再请教一个问题：

各位数字之和为5000的1000位正整数有多少个？

这个题目，用枚举肯定无法解决。我用了动态规划算法，耗时80分钟。

有没有数学方法可以直接或者快速地计算出答案。

谢谢！

动态规划算法的结果见下图：

追答

如果是用计算机编程计算的话用递推算法最简单。
设数字总和为s，位数为d，个数为f(s,d)
则有：
f(s,d)=f(s,d-1)+f(s-1,d-1)+…+f(s-9,d-1)

时间和空间复杂度：O(s*d)

追问

目前用的就是这个算法，动态规划。

因为用到大整数计算，定义f数组的规模超出了编译器限制，只能动用硬盘或内存虚拟盘来暂存。所以，计算时间很长。

500位的话，只需要几秒钟。1000位就要几十分钟。

参考技术A 这个54张牌分给四个人就是有两种分法。因为这个评论不了，所以必须有两个人牌多，有两个人牌少。也就是给前两个人每人14张牌，后两位每人13张牌。再就是给后者两人每人14张牌，前者每人13张牌 参考技术B 微风吹开你紧琐的眉头，春雨滋润你僵硬的面容，让所有的愁向后飞去。请不要回头去追那些不属于你的忧愁，赶快向前奔跑，因为快乐就在前方！ 参考技术C 可以参考第二类斯特林数的公式来计算，具体公式证明可在百度上搜索一下，结果如附图所示（图中的k应改为m）： 参考技术D C(53,3)×A(4,4)=53×52×51÷3÷2÷1×4×3×2×1=562224种分法
提示：54张牌排成一排，中间有53个间隔(因为每人至少有1张,故牌前后的间隔不可用.)，选择3个间隔，可以分成4份,然后乘以A(4,4)即可！追问

题意是：一副牌共54张，每张都不同。插板法适用的是，每个元素都相同的情形！
编程可得总方案数为 324518321059478822709308315907480。
有没有更直接的数学方法？谢谢！

追答

回答有误！请见谅！
那应该在分法采用步步分的办法,即分法为1,1,1,51时,就
C(54,1)×C(53,1)×C(52,1)=148824种；1,1,2,50时，有C(54,1)×C(53,1)×C(52,2)=？；1,1,3,49；1,1,4,48；这样的分法就有51种(没有加各种分法的结果，也没有乘以A(4,4))…还有2,2,1,49；2,2,2,48；有49种分法…3,3,1,47；3,3,2,46；有47种分法…
这样计算太麻烦了，而且数值大！

追问

一共有1154个分类

追答

每个分类，还需要计算.每个分类计算的结果也不同…

98 数的划分

98 数的划分

作者: Turbo时间限制: 1S章节: 动态规划

问题描述 :

　　将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。
　　例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。
　　1，1，5; 1，5，1; 5，1，1;
　　问有多少种不同的分法。

样例输入

7 3

样例输出

4 {四种分法为：1，1，5; 1，2，4; 1，3，3; 2，2，3;}

输入说明 :

两个整数n和k

6<n<=200，2<=k<=6

输出说明 :

一个整数，即不同的分法

输入范例 :
7 3
输出范例 :
4

dp:
分两种情况 1, 至少一个盒子只有一个球的个数 2，没有一个盒子只有一个球
这样进行划分的原因是这种分类足够特殊，1和2都有可以写出来的表达式：

1. 因为盒子不加区分，那么1的情况数与“将n-1个小球放到k-1个盒子中”的情况数一样
2. 没有一个盒子只有一个小球，那么把每个盒子中拿出来一个小球，对应的是“把(n-k)个小球放到k个盒子中的情况数”
   至于1和2中的两种等价关系为什么成立，可以用集合A=集合B的方式去证明

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	int dp[201][201] = { 0 };
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= i; j++)
		{
			if (i == j)
				dp[i][j] = 1;
			else
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j];
		}
	}
	cout << dp[n][k] << endl;
	return 0;
}

dfs：

#include <iostream>
using namespace std;
int n, m,num=0;
void dfs(int k, int sum, int index)
{
	if (index == m)
	{
		if (sum == n)
			num++;
		return;
	}
	for (int i = k; sum + i*(m - index) <= n; i++)//剪枝
	{
		dfs(i, sum + i, index + 1);
	}
}
int main()
{
	cin >> n >> m;
	dfs(1, 0, 0);
	cout << num << endl;
	return 0;
}