【算法题】12.爬楼梯问题

Posted 2023-05-02

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了【算法题】12.爬楼梯问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

参考技术A 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

爬n阶楼梯为（n-1）和（n-2）阶的和，可联想到斐波那契数列 ,因此可以使用递归法解决这个问题。

在递归法的基础上优化，我们可以把每一步的结果存储在 memo 数组之中，每当函数再次被调用，我们就直接从 memo 数组返回结果。在 memo 数组的帮助下，我们得到了一个修复的递归树，其大小减少到 n。这个时候我们可以继续优化，使用动态规划法。其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题不是互相独立的。

时间复杂度：
空间复杂度：

代码随想录算法训练营第三十八天 | 理论基础，509. 斐波那契数，70. 爬楼梯，746. 使用最小花费爬楼梯

Day36 周日休息~

一、参考资料

理论基础

https://programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80.html

刷题大纲

递推五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

确定递推公式

dp数组如何初始化

确定遍历顺序

举例推导dp数组

斐波那契数（通常用 F(n) 表示）形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：
输入：n = 2 输出：1 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
输入：n = 3 输出：2 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
输入：n = 4 输出：3 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：
0 <= n <= 30


class Solution 
public:
    int fib(int n) 
        if (n <= 1) return n;
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) 
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        
        return dp[n];
    
;

进一步优化：


class Solution 
public:
    // 两个值维护即可
    int fib(int n) 
        if (n <= 1) return n;
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) 
            int res = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = res;
        
        return dp[1];
    
;

三、LeetCode70. 爬楼梯

https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/description/

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：
输入：n = 2 输出：2 解释：有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶
示例 2：
输入：n = 3 输出：3 解释：有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶
提示：
1 <= n <= 45

举例：


class Solution 
public:
    int climbStairs(int n) 
        if (n <= 1) return n;
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) 
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        
        return dp[n];
    
;

四、LeetCode746. 使用最小花费爬楼梯

https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/description/

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：
输入：cost = [10, 15,20] 输出：15 解释：你将从下标为 1 的台阶开始。 - 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。总花费为 15 。
示例 2：
输入：cost = [ 1,100, 1,1, 1,100, 1, 1,100, 1] 输出：6 解释：你将从下标为 0 的台阶开始。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。总花费为 6 。
提示：
2 <= cost.length <= 1000
0 <= cost[i] <= 999

举例：


class Solution 
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) 
        vector<int> dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) 
            dp[i] = min(dp[i - 2] + cost[i - 2], dp[i - 1] + cost[i - 1]);
        
        return dp[cost.size()];
    
;