latex模板中物理单位n·m2/kg2如何输入

Posted 2023-05-01

latex模板中物理单位n·m2/kg2如何输入

参考技术A 如果不用equation方法直接写的话，
$n$m$^2$$/$kg$^2$. 参考技术B 行间公式可以这样写：$n\cdot m^2/kg^2$
独立公式可以用equation,gather,\[*******\]等环境加上上面的$之间的部分

P3381 模板最小费用最大流

题目描述

如题，给出一个网络图，以及其源点和汇点，每条边已知其最大流量和单位流量费用，求出其网络最大流和在最大流情况下的最小费用。

输入格式

第一行包含四个正整数N、M、S、T，分别表示点的个数、有向边的个数、源点序号、汇点序号。

接下来M行每行包含四个正整数ui、vi、wi、fi，表示第i条有向边从ui出发，到达vi，边权为wi（即该边最大流量为wi），单位流量的费用为fi。

输出格式

一行，包含两个整数，依次为最大流量和在最大流量情况下的最小费用。

输入输出样例

输入 #1复制

4 5 4 3
4 2 30 2
4 3 20 3
2 3 20 1
2 1 30 9
1 3 40 5

输出 #1复制

50 280

说明/提示

时空限制：1000ms,128M

（BYX：最后两个点改成了1200ms）

数据规模：

对于30%的数据：N<=10，M<=10

对于70%的数据：N<=1000，M<=1000

对于100%的数据：N<=5000，M<=50000

样例说明：

如图，最优方案如下：

第一条流为4-->3，流量为20，费用为3*20=60。

第二条流为4-->2-->3，流量为20，费用为（2+1）*20=60。

第三条流为4-->2-->1-->3，流量为10，费用为（2+9+5）*10=160。

故最大流量为50，在此状况下最小费用为60+60+160=280。

故输出50 280。

思路

在最大流的E-K求法中，我们遍历全图，找到一条可增广的路径。那么在最大流不变时，每段费用越少越优，所以我们可以使用SPFA来代替DFS，此外因为有负值的存在，使用dij会比较麻烦，因而选择SPFA。时间复杂度上线为O（nm^2）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10700
#define M 107000
#define inf 1<<29
using namespace std;
struct node
    int y,z,p,next;
e[M*2];
int tot=1,head[N],maxflow=0,ans=0;
int n,m,s,t;
void add(int x,int y,int z,int p)
    e[++tot].y=y;e[tot].z=z;e[tot].p=p;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
    e[++tot].y=x;e[tot].z=0;e[tot].p=-p;e[tot].next=head[y];head[y]=tot;

int incf[N],v[N],pre[N],d[N];
bool spfa()
    queue<int> q;
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    memset(v,0,sizeof(v));
    q.push(s);d[s]=0;v[s]=1;
    incf[s]=inf;
    while(q.size())
        int x=q.front();v[x]=0;q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
            int y=e[i].y,z=e[i].z;
            if(!z) continue;
            if(d[y]>d[x]+e[i].p)
                d[y]=d[x]+e[i].p;
                incf[y]=min(incf[x],z);
                pre[y]=i;
                if(!v[y]) v[y]=1,q.push(y);
            
        
    
    if(d[t]==0x3f3f3f3f) return false;
    return true;

void update()
    int x=t;
    while(x!=s)
        int i=pre[x];
        e[i].z-=incf[t];
        e[i^1].z+=incf[t];
        x=e[i^1].y; 
    
    maxflow+=incf[t];
    ans+=d[t]*incf[t];

int main()

    int x,y,z,p;
    cin>>n>>m>>s>>t;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&p);
        add(x,y,z,p);
    
    while(spfa()) update();
    cout<<maxflow<<" "<<ans<<endl;
    return 0;