技能回蓝红黑树删除节点

Posted 2021-04-04 未赋值

我们再次温习一下红黑树的几个特性：
(1) 每个节点或者是黑色，或者是红色。
(2) 根节点是黑色。
(3) 每个叶子节点是黑色。 [注意：这里叶子节点，是指为空的叶子节点！]
(4) 如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。
(5) 对于任意节点而言，其到叶节点树尾端NIL指针的每条路径都包含相同数目的黑结点。 

。

删除红黑树中的节点

将红黑树内的某一个节点删除，需要执行的操作依次是：

1. 首先，将红黑树当作一颗二叉查找树，将该节点从二叉查找树中删除；

2. 然后，通过"旋转和重新着色"等一系列来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

详细描述如下：

第一步：将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点删除。

这和"删除常规二叉查找树中删除节点的方法是一样的"。

分3种情况：

① 被删除节点没有儿子，即为叶节点。那么，直接将该节点删除就OK了。

② 被删除节点只有一个儿子。那么，直接删除该节点，并用该节点的唯一子节点顶替它的位置。

③ 被删除节点有两个儿子。那么，先找出它的后继节点；然后把“它的后继节点的内容”复制给“该节点的内容”；之后，删除“它的后继节点”。在这里，后继节点相当于替身，在将后继节点的内容复制给"被删除节点"之后，再将后继节点删除。这样就巧妙的将问题转换为"删除后继节点"的情况了，下面就考虑后继节点。 在"被删除节点"有两个非空子节点的情况下，它的后继节点不可能是双子非空。既然"的后继节点"不可能双子都非空，就意味着"该节点的后继节点"要么没有儿子，要么只有一个儿子。若没有儿子，则按"情况① "进行处理；若只有一个儿子，则按"情况② "进行处理。

第二步：通过"旋转和重新着色"等一系列来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

因为"第一步"中删除节点之后，可能会违背红黑树的特性。所以需要通过"旋转和重新着色"来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

删除的是黑色节点，才需要进行修正

在第一步中"将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点删除"后，可能违反"特性(2)、(4)、(5)"三个特性。第二步需要解决上面的三个问题，进而保持红黑树的全部特性。

如果删除的是红色节点，那么原红黑树的性质依旧保持，此时不用做修正操作，如果删除的节点是黑色节点，原红黑树的性质可能会被改变，我们要对其做修正操作。那么哪些树的性质会发生变化呢，如果删除节点不是树唯一节点，那么删除节点的那一个支的到各叶节点的黑色节点数会发生变化，此时性质5被破坏。如果被删节点的唯一非空子节点是红色，而被删节点的父节点也是红色，那么性质4被破坏。如果被删节点是根节点，而它的唯一非空子节点是红色，则删除后新根节点将变成红色，违背性质2。

为了便于分析，我们假设"x是进入调整方法的节点，x包含一个额外的黑色"(x原本的颜色还存在)，这样就不会违反"特性(5)"。为什么呢？

删除节点y之后，x占据了原来节点y的位置。 既然删除y(y是黑色)，意味着减少一个黑色节点；那么，再在该位置上增加一个黑色即可。这样，当我们假设"x包含一个额外的黑色"，就正好弥补了"删除y所丢失的黑色节点"，也就不会违反"特性(5)"。 因此，假设"x包含一个额外的黑色"(x原本的颜色还存在)，这样就不会违反"特性(5)"。

现在，x不仅包含它原本的颜色属性，x还包含一个额外的黑色。即x的颜色属性是"红+黑"或"黑+黑"，它违反了"特性(1)"。

现在，我们面临的问题，由解决"违反了特性(2)、(4)、(5)三个特性"转换成了"解决违反特性(1)、(2)、(4)三个特性"。RB-DELETE-FIXUP需要做的就是通过算法恢复红黑树的特性(1)、(2)、(4)。

RB-DELETE-FIXUP的思想是：将x所包含的额外的黑色不断沿树上移(向根方向移动)，直到出现下面的姿态：

a) x指向一个"红+黑"节点。此时，将x设为一个"黑"节点即可。
b) x指向根。此时，将x设为一个"黑"节点即可。
c) 非前面两种姿态。

上面的姿态，可以概括为3种情况:

① 情况说明：x是“红+黑”节点。
   处理方法：直接把x设为黑色，结束。此时红黑树性质全部恢复。

② 情况说明：x是“黑+黑”节点，且x是根。
   处理方法：什么都不做，结束。此时红黑树性质全部恢复。

③ 情况说明：x是“黑+黑”节点，且x不是根。
   处理方法：这种情况又可以划分为4种子情况。

这4种子情况如下表所示：

Case 1    x是"黑+黑"节点，x的兄弟节点是红色。(此时x的父节点和x的兄弟节点的子节点都是黑节点)。  
(01) 将x的兄弟节点设为“黑色”。
(02) 将x的父节点设为“红色”。
(03) 对x的父节点进行左旋。
(04) 左旋后，重新设置x的兄弟节点。

这样做的目的是将“Case 1”转换为“Case 2”、“Case 3”或“Case 4”，从而进行进一步的处理。

对x的父节点进行左旋；

左旋后，为了保持红黑树特性，就需要在左旋前“将x的兄弟节点设为黑色”，同时“将x的父节点设为红色”；

左旋后，由于x的兄弟节点发生了变化，需要更新x的兄弟节点，从而进行后续处理。

Case 2    x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色，x的兄弟节点的两个孩子都是黑色。    
(01) 将x的兄弟节点设为“红色”。
(02) 设置“x的父节点”为“新的x节点”。

这个情况的处理思想：是将“x中多余的一个黑色属性上移(往根方向移动)”。 

x是“黑+黑”节点，我们将x由“黑+黑”节点 变成 “黑”节点，多余的一个“黑”属性移到x的父节点中，即x的父节点多出了一个黑属性(若x的父节点原先是“黑”，则此时变成了“黑+黑”；若x的父节点原先时“红”，则此时变成了“红+黑”)。

此时，需要注意的是：所有经过x的分支中黑节点个数没变化；

但是，所有经过x的兄弟节点的分支中黑色节点的个数增加了1(因为x的父节点多了一个黑色属性)！

为了解决这个问题，我们需要将“所有经过x的兄弟节点的分支中黑色节点的个数减1”即可，那么就可以通过“将x的兄弟节点由黑色变成红色”来实现。

经过上面的步骤(将x的兄弟节点设为红色)，多余的一个颜色属性(黑色)已经跑到x的父节点中。

我们需要将x的父节点设为“新的x节点”进行处理。

若“新的x节点”是“黑+红”，直接将“新的x节点”设为黑色，即可完全解决该问题；

若“新的x节点”是“黑+黑”，则需要对“新的x节点”进行进一步处理。

Case 3    x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的左孩子是红色，右孩子是黑色的。  
(01) 将x兄弟节点的左孩子设为“黑色”。
(02) 将x兄弟节点设为“红色”。
(03) 对x的兄弟节点进行右旋。
(04) 右旋后，重新设置x的兄弟节点。

我们这样处理“Case 3”的目的是为了将“Case 3”转换成“Case 4”,从而进行进一步的处理。

转换的方式是对x的兄弟节点进行右旋；

为了保证右旋后，它仍然是红黑树，就需要在右旋前“将x的兄弟节点的左孩子设为黑色”，同时“将x的兄弟节点设为红色”；

右旋后，由于x的兄弟节点发生了变化，需要更新x的兄弟节点，从而进行后续处理。

Case 4    x是“黑+黑”节点，x的兄弟节点是黑色；x的兄弟节点的右孩子是红色的，x的兄弟节点的左孩子任意颜色。  
(01) 将x父节点颜色 赋值给 x的兄弟节点。
(02) 将x父节点设为“黑色”。
(03) 将x兄弟节点的右子节设为“黑色”。
(04) 对x的父节点进行左旋。
(05) 设置“x”为“根节点”。

我们处理“Case 4”的目的是：去掉x中额外的黑色，将x变成单独的黑色。处理的方式是“：进行颜色修改，然后对x的父节点进行左旋。

下面，我们来分析是如何实现的。

为了便于说明，我们设置“当前节点”为X，“兄弟节点”为B，“兄弟节点的左孩子”为BL，“兄弟节点的右孩子”为BR，“父节点”为P。

我们要对P进行左旋。但在左旋前，我们需要调换P和B的颜色，并设置BR为黑色。

为什么需要这么处理呢？(没弄懂这一点)

因为左旋后，P和BL是父子关系，而我们已知BL是红色，如果P是红色，则违背了“特性(4)”；为了解决这一问题，我们将“P设置为黑色”。 但是，P设置为黑色之后，为了保证满足“特性(5)”，即为了保证左旋之后：

第一，“同时经过根节点和X的分支的黑色节点个数不变”。

若满足“第一”，只需要X丢弃它多余的颜色即可。因为X的颜色是“黑+黑”，而左旋后“同时经过根节点和X的分支的黑色节点个数”增加了1；现在，只需将S由“黑+黑”变成单独的“黑”节点，即可满足“第一”。

第二，“同时经过根节点和BL的分支的黑色节点数不变”。

若满足“第二”，只需要将“P的原始颜色”赋值给B即可。之前，我们已经将“P设置为黑色”(即将B的颜色"黑色"，赋值给了P)。至此，我们算是调换了P和B的颜色。

第三，“同时经过根节点和BR的分支的黑色节点数不变”。

在“第二”已经满足的情况下，若要满足“第三”，只需要将BR设置为“黑色”即可。

经过，上面的处理之后。红黑树的特性全部得到的满足！接着，我们将x设为根节点，就可以跳出while循环；

至此，我们就完成了Case 4的处理。理解Case 4的核心，是了解如何“去掉当前节点额外的黑色”。

TreeMap中的相关代码

deleteEntry

/**
     * 删除节点 p, 平衡红黑树.
     */
    private void deleteEntry(Entry<K,V> p) {
        modCount++;//操作数加1
        size--;


        if (p.left != null && p.right != null) {
            Entry<K,V> s = successor(p);
            p.key = s.key;
            p.value = s.value;
            p = s;
        } // p 有2个子节点的情况：交换p和p的后继节点

        // //p 最多有一个子节点的情况：
        Entry<K,V> replacement = (p.left != null ? p.left : p.right);

        if (replacement != null) {//p的替身存在的话：
            // 替身的父节点指向p的父节点
            replacement.parent = p.parent;
            if (p.parent == null)//p没有父节点
                root = replacement;//替身就成了根节点
            else if (p == p.parent.left)//p有父节点，且p是左节点
                p.parent.left  = replacement;//替身成为父节点的左孩子
            else//p有父节点，且p是右节点
                p.parent.right = replacement;//替身成为父节点的右孩子

            // 链接置空，以便进行删除后的
            p.left = p.right = p.parent = null;

            // 如果p是黑色节点，需要修正，
            if (p.color == BLACK)
                fixAfterDeletion(replacement);//传入的是替身
        } else if (p.parent == null) { //p没有没有替身，即p没有子节点。p也没有父节点，那么p就是唯一的节点，即根节点。
            root = null;//
        } else { //  p有父节点，但是没有孩子节点
            if (p.color == BLACK)//黑色节点被删除，需要修正，
                fixAfterDeletion(p);//传入的是p

            if (p.parent != null) {
                if (p == p.parent.left)
                    p.parent.left = null;
                else if (p == p.parent.right)
                    p.parent.right = null;
                p.parent = null;
            }
        }
    }

fixAfterDeletion

/** From CLR */
    private void fixAfterDeletion(Entry<K,V> x) { //x是当前节点
        while (x != root && colorOf(x) == BLACK) {//x不是根节点且x是黑色。
            if (x == leftOf(parentOf(x))) {//x是左节点
                Entry<K,V> sib = rightOf(parentOf(x));//x的兄弟节点

                //case 1 : 兄弟节点是红色
                if (colorOf(sib) == RED) {
                    setColor(sib, BLACK);//兄弟节点涂黑
                    setColor(parentOf(x), RED);//父节点涂红
                    rotateLeft(parentOf(x));//左旋父节点
                    sib = rightOf(parentOf(x));//x的新兄弟节点
                }

                //x的兄弟节点为黑色
                if (colorOf(leftOf(sib))  == BLACK &&
                    colorOf(rightOf(sib)) == BLACK) {//case 2: 兄弟节点有2个黑色子节点
                    setColor(sib, RED);//兄弟节点设为红色
                    x = parentOf(x);//父节点成为新的当前节点
                } else {//兄弟节点最多有一个黑色节点
                    if (colorOf(rightOf(sib)) == BLACK) {//case 3:兄弟节点的右孩子是黑色，左孩子是红色
                        setColor(leftOf(sib), BLACK);//兄弟节点的左节点设为黑色
                        setColor(sib, RED);//兄弟节点设为红色
                        rotateRight(sib);//右旋兄弟节点
                        sib = rightOf(parentOf(x));//当前节点的新兄弟节点
                    }//转化为case 4

                    //case 4 : 兄弟节点的右孩子是红色，左孩子任意颜色。
                    setColor(sib, colorOf(parentOf(x)));//兄弟节点设为父节点的颜色
                    setColor(parentOf(x), BLACK);//父节点设为黑色
                    setColor(rightOf(sib), BLACK);//兄弟节点的右节点设为黑色
                    rotateLeft(parentOf(x));//左旋父节点
                    x = root;//为了跳出while循环
                }
            } else { // 和上面对称
                Entry<K,V> sib = leftOf(parentOf(x));

                if (colorOf(sib) == RED) {
                    setColor(sib, BLACK);
                    setColor(parentOf(x), RED);
                    rotateRight(parentOf(x));
                    sib = leftOf(parentOf(x));
                }

                if (colorOf(rightOf(sib)) == BLACK &&
                    colorOf(leftOf(sib)) == BLACK) {
                    setColor(sib, RED);
                    x = parentOf(x);
                } else {
                    if (colorOf(leftOf(sib)) == BLACK) {
                        setColor(rightOf(sib), BLACK);
                        setColor(sib, RED);
                        rotateLeft(sib);
                        sib = leftOf(parentOf(x));
                    }
                    setColor(sib, colorOf(parentOf(x)));
                    setColor(parentOf(x), BLACK);
                    setColor(leftOf(sib), BLACK);
                    rotateRight(parentOf(x));
                    x = root;
                }
            }
        }

        setColor(x, BLACK);//x是红色，或者x是根节点，节点设为黑色即可
    }