红黑树自平衡二叉查找树

Posted 2021-04-04 JustDoIT2CSA

红黑树是一种自平衡二叉查找树。它的统计性能要好于平衡二叉树（AVL树），因此，红黑树在很多地方都有应用。在C++ STL中，很多部分(目前包括set, multiset, map, multimap)应用了红黑树的变体(SGI—STL中的红黑树有一些变化，这些修改提供了更好的性能，以及对set操作的支持)。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 可以在O(logn)时间内做查找，插入和删除等操作。

～基本性质

红黑树，通过红黑两种颜色域保证树的高度近似平衡。它的每个Node节点是一个五元组：

color（颜色），key（数据），left（左孩子），right（右孩子）和 p（父节点）。

红黑树的定义也是它的性质，有以下五条：

• 性质1：节点是红色 or 黑色

• 性质2：根是黑色

• 性质3：所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）

• 性质4：如果一个节点是红的，则它的两个儿子都是黑的

• 性质5：从任一节点到其叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。

这五个性质强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。～为什么呢？

性质4暗示着任何一个简单路径上不能有两个毗连的红色节点，这样，最短的可能路径全是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。同时根据性质5知道：所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

～基本操作

因为红黑树也是二叉查找树，因此红黑树上的查找操作与普通二叉查找树上的查找操作相同。然而，红黑树上的插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。恢复红黑树的性质需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次。

～插入操作

插入操作可以概括为以下几个步骤：

1. 查找要插入的位置，时间复杂度为O(N)（跟普通二叉查找树一样）。

2. 将新节点的color赋值为红色

3. 自下而上重新调整该树为红黑树

⚠️～为什么第(2)步之所以将新插入的节点的颜色赋为红色？

若设为黑色节点，就会导致根到叶子的路径上有一条路径上，多一个额外的黑节点，这个是很难调整的。

若设为红色节点，可能会导致出现两个连续红色节点的冲突，则可以通过颜色调换（color flips）和树旋转来调整，实现起来简单。

【场景如下】

设要插入的节点为N，其父节点为P，其父亲G的兄弟节点为U（即P和U是同一个节点的两个子节点）。

• 如果P是黑色的，则整棵树不必调整便是红黑树。

• 如果P是红色的（可知其父节点G一定是黑色的），则插入N后，违背了性质4，需要进行调整。

调整时分以下3种情况：

如上图所示，将P和U重绘为黑色并重绘节点G为红色(用来保持性质5)。现在新节点N有了一个黑色的父节点P，因为通过父节点P或叔父节点U的任何路径都必定通过祖父节点G，在这些路径上的黑节点数目没有改变。但是，红色的祖父节点G的父节点也有可能是红色的，这就违反了性质4。为了解决这个问题，在祖父节点G上递归调整颜色。

如上图所示，对P进行一次左旋转调换新节点和其父节点的角色; 接着，按情形(c)处理以前的父节点P以解决仍然失效的性质4。

如上图所示，对祖父节点G 的一次右旋转; 在旋转产生的树中，以前的父节点P现在是新节点N和以前的祖父节点G的父节点，然后交换以前的父节点P和祖父节点G的颜色，结果的树满足性质4，同时性质5[4]也仍然保持满足。

～删除操作

删除操作可以概括为以下几个步骤：

1. 查找要删除位置，时间复杂度为O(N)（跟普通二叉查找树一样）。

2. 用删除节点后继节点替换该节点（只进行数据替换即可，不必调整指针，后继节点是中序遍历中紧挨着该节点的节点，即：右孩子的最左孩子节点）

3. 如果删除节点的替换节点为黑色，则需重新调整该树为红黑树

第2步之所以用后继节点替换删除节点，是因为这样可以保证该后继节点之上仍是一个红黑树，而后继节点可能是一个叶节点或者只有右子树的节点，这样只需用有节点替换后继节点即可达到删除的目的。如果需要删除的节点有两个儿子，那么问题可以被转化成删除另一个只有一个儿子的节点的问题。可参考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A2%E9%BB%91%E6%A0%91

第3步中，如果删除节点为红色节点，则他的父亲和孩子全为黑节点，这样直接删除该节点即可，不必进行任何调整。如果删除节点是黑节点，分4种情况：

设要删除的节点为N，其父节点为P，其兄弟节点为S。由于N是黑色的，则P可能是黑色的，也可能是红色的，S也可能是黑色的或者红色的。

（1）S是红色的

此时P肯定是红色的。对N的父节点进行左旋转，然后把红色兄弟转换成N的祖父。接着对调N的父亲和祖父的颜色。尽管所有的路径仍然有相同数目的黑色节点，现在 N 有了一个黑色的兄弟和一个红色的父亲，所以可以接下去按 (2)、(3)或(4)情况来处理。

（2）S和S的孩子全是黑色的

在这种情况下，P可能是黑色的或者红色的，简单的重绘S为红色。结果是通过S的所有路径，它们就是以前不通过N的那些路径，都少了一个黑色节点。因为删除N的初始的父亲使通过N的所有路径少了一个黑色节点，这使事情都平衡了起来。但是，通过P的所有路径现在比不通过P的路径少了一个黑色节点。接下来，要调整以P作为N递归调整树。

（3）S是黑色的，S的左孩子是红色，右孩子是黑色

这种情况下在S上做右旋转，这样S的左儿子成为S的父亲和N的新兄弟。接着交换S和它的新父亲的颜色。所有路径仍有同样数目的黑色节点，但是现在N有了一个右儿子是红色的黑色兄弟，所以进入了情况（4）。N和它的父亲都不受这个变换的影响。

（4）S是黑色的，S的右孩子是红色

在这种情况下在N的父亲上做左旋转，这样S成为N的父亲和S的右儿子的父亲。接着交换N的父亲和S的颜色，并使S的右儿子为黑色。子树在它的根上的仍是同样的颜色，所以属性3没有被违反。但是，N现在增加了一个黑色祖先: 要么N的父亲变成黑色，要么它是黑色而S被增加为一个黑色祖父。所以，通过N的路径都增加了一个黑色节点。