红黑树原理分析

Posted 2021-04-04 区块链and语义研究实验室

在理解红黑树之前，先对二叉查找树进行一个简单的介绍。

1、二叉查找树

二叉查找树的特性如下：

1.左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。

2.右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。

3.左、右子树也分别为二叉排序树。

例如，在下图的二叉查找树中查找元素10，查找的结点依次为：9、13、11、10，利用了二分法的思想，提高了查找的效率。

但是二叉查找树也存在缺点。例如，在下图中插入结点7、6、5、4、3，得到结果：

从这种情况可以看出，明显存在左子树和右子树深度相差过多，想要查找3的位置就需要每一次都遍历下一个左子树，很有可能时间复杂度变为n（与数组普通查询的时间复杂度相同）。基于上述情况，引入了平衡二叉树，红黑树即为平衡二叉树的一种。

2、红黑树的特性

红黑树是一种自平衡二叉查找树，在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。

它的左右子树高差有可能大于1，所以红黑树不是严格意义上的平衡二叉树（AVL），但对其进行平衡的代价较低，因此性能要强于AVL。

由于每一颗红黑树都是一颗二叉排序树，因此，在对红黑树进行查找时，可以采用普通二叉排序树的查找算法，在查找过程中不需要颜色信息。红黑树有5个特性：

1.所有结点是红色或黑色。

2.根结点为黑色。

3.每个叶结点都是黑色的空结点。

4.每个红色结点的两个子结点都是黑色。

5.从任一结点到其每个叶子结点的所有路径都包含相同数目的黑结点。

下图为一个典型的红黑树。

3、红黑树的插入操作

1、插入元素的时候，可能会导致红黑树的结构破坏，有2种基本操作：变色和旋转。

（1）变色：将红色结点变为黑色，或将黑色结点变为红色。

（2）旋转：左旋转和右旋转。（以实例进行说明）

左旋转：以X为轴进行左旋，使X的右孩子Y旋转到X的位置，而X作为新局面中Y的左子树，且原来Y的左孩子b作为了新局面中X的右孩子。

右旋转：以X为轴进行右旋，使X的左孩子Y旋转到X的位置，而X作为新局面中Y的右子树，且原来Y的右孩子c作为了新局面中X的左孩子。

2、红黑树插入新结点的5种情况

注意：插入节点的时候，新插入的结点为红色。因为插入红色结点后树的性质可能不会改变，而插入黑色节点每次都会违反特性5。因此将红黑树的新插入的结点默认颜色设置为红色，是为尽可能减少插入新节点对红黑树造成的影响。

情况1：（变色）新插入的结点A刚好位于红黑树的根部。

此时，破坏了特性2，因此直接将A变色。变色后由于A位于树的根结点上，因此每条路径上都增加了一个黑结点，因此特性5没有被破坏。

情况2：（不变）新插入的结点B的父结点是黑色的。

此时，新结点B为红色，满足红黑树的5个特性，因此不做任何操作。

情况3：（变色）新插入的结点D的父结点B与叔叔结点C都为红色。

此时，B结点（红色）的孩子结点D也为红色，打破了特性4。因此需要变色：使B结点变色成黑色。

但是，此时路径A--B--…...上多出一个黑色结点（相较于路径A--C--…...），违背了特性5。因此需要使A结点变色为红色。

但是，此时还是存在问题。红色的A结点的孩子结点C也是红色，又违背了特性4，因此使C结点变色为黑色。

此时的结果满足红黑树的5个特性，调整完毕。

情况4：（旋转-左旋）新插入的结点D的父结点B为红色，其叔叔结点C为黑色或无叔叔结点，且新结点D位于其父结点B的右孩子，而B结点位于其自身父结点的左孩子上。

此时，以新结点D的父结点B为轴进行左旋，使D替代B的位置，原来的父结点B作为新的父结点D的左孩子，且原来D的左子树2作为新局面中B的右子树。

旋转之后变为了情况5。

情况5：（旋转-右旋+变色）新插入的结点D的父结点B为红色，其叔叔结点C为黑色或无叔叔结点，且新结点D位于其父结点B的左孩子，而B结点位于其自身父结点的左孩子上。

此时，以新结点D的祖父结点A为轴进行右旋，使父结点B替代A的位置，原来的祖父结点A作为新的祖父结点B的右孩子，且原来B的右子树3作为新局面中A的左子树。

由于右旋之后根的右子树上多了一个黑结点，违背了特性5；且树的根结点的颜色为红色，也违背了特性2。因此需要使B结点变为黑色，A结点变色为红色。

到底为止，调整后的树满足了红黑树的5个特性。

注意：当情况4、5中的父结点B是祖父节点A的右孩子时，情况4：新结点D是B的左孩子，此时以B为轴右旋进入情况5；情况5：新结点D是B的右孩子，此时以祖父节点A为轴左旋，再变色。

3、实例

在下图基础上插入21结点。

（1）按照二叉查找树的规则插入21结点。

（2）调整结点21：判断插入21属于插入操作的哪种情况，并调整。

经判断，发现新插入的21结点的父结点及叔叔结点都是红色，符合情况3。因此需要进行变色操作：22变为黑色，25变为红色，27变为黑色。

调整之后，以25为根的子树满足了红黑树的5个特性。但是25与其父结点17都为红色，不符合特性4。

（3）调整25结点：将结点25看作新结点，往上进行调整。

此时符合情况5的变形：即新结点25的父结点17为红色，叔叔结点15为黑色，且25是17的右孩子，父结点17为祖父节点13的右孩子，需要先左旋再变色。

左旋：以13为轴左旋后，17结点替代13结点的位置，变为根结点。而13变为17的左孩子，以15为根的子树变为13的右子树。

变色：使17变色为黑色，13变色为红色。此时，这棵树的调整完毕。

4、红黑树的删除操作

1、二叉查找树删除操作的3种情况

（1）待删除的结点是叶子结点，则直接删除。

（2）待删除的结点有1个孩子：让其孩子结点直接替代它。

（3）待删除结点有2个孩子。

5有两个孩子，需要在其子树中选择与5最接近的结点替代它。一般习惯选择5的后继结点（按照中序排序）替代它，此处为结点6。

将6复制到5的位置上，然后原来的6结点按照情况1或2进行删除。

2、红黑树删除操作的3个步骤

此处红黑树的删除操作是在二叉查找树删除操作基础上展开的。

（1）步骤1：若待删除结点有2个非空孩子，则需将其变为只有一个孩子或没有孩子。

例如删除结点8。首先根据二叉查找树进行删除操作：结点8有两个孩子，因此使用中序排序中8的后继结点10复制到8的位置，结点颜色是待删除结点的颜色，然后删除原来位置的10。

此时，由中序遍历的性质得知10结点没有左孩子，因此转化为了删除结点10，且10结点只有一个右孩子，进入步骤2。

（2）步骤2：根据待删除结点及其唯一的孩子结点颜色，分为以下3种情况。

A、待删除结点为红色，孩子为黑色。

直接按照二叉查找树的方法，进行删除操作，即用结点2替代结点1。

B、待删除结点为黑色，孩子为红色。

首先按照二叉查找树的方法，删除结点1。

但是2结点所在的这条路径上黑结点的数目少了一个，因此需要变色：将2变为黑色。

C、待删除结点为黑色，孩子也为黑色或空的叶节点。

首先按照二叉查找树的方法删除结点1。

但此时2所在的路径上的黑结点数目减少了一个，且无法通过变色解决，因此跳转到步骤3。

（3）步骤3：主要解决双黑结点，即父结点与唯一子结点都是黑色。子结点替代父结点后，有6种情况。

A、不变：结点2为树的根。此时所有路径的黑结点都少了1个，因此满足特性5，不需调整。

B、变色：结点2的父亲、兄弟、侄子都为黑色。

将其兄弟B变为红色。

此时，A的两棵子树的路径上都少了一个黑结点，因此满足了特性5。但可能又会使A以外的路径不满足特性5，因此将A看作此处的2结点，进行递归调整。

C、左旋 + 变色：结点2的兄弟为红色，父亲、侄子为黑色。

左旋：以2的父结点A为轴左旋。

变色：使A变为红色，B变为黑色。这样操作之后会变为情况D或情况E或情况F。

D、变色：结点2的父亲为红色，兄弟、侄子为黑色。

变色：将结点2的父亲A变成黑色，兄弟B变成红色。这样的结果会增加2所在路径的黑结点，同时也不会缩减B所在路径的黑结点，满足了特性5。

E、右旋 + 变色：结点2的父结点无限制，兄弟B为黑色右孩子，右侄子为黑色，左侄子为红色。

右旋：此时，以结点2的兄弟B为轴右旋，使B的左孩子C旋转到B的位置上。

变色：使B变成红色，C变成黑色，然后跳转到情况F。

F、左旋+变色：结点2的父亲颜色无限制，兄弟B为黑色右孩子，右侄子为红色。

左旋：以2结点的父亲A为轴左旋，使A的右孩子B旋转到A的位置上。

变色：将A与B的颜色交换，D的颜色置为黑色。

这时，2所在路径由原来的“任意-黑”转化为了“任意-黑-黑”，而在步骤2中2替代了其父结点，因此2所在路径缺少1个黑结点，本次调整完后刚好补上了之前缺的黑结点，满足了特性5；D所在路径由原来的“任意-黑-红”转化为了“任意-黑”，黑结点数目始终不变。

3、实例

在下面红黑树的基础上删除结点17。

步骤1：分析得17有两个孩子，因此使用中序遍历中17的后继结点25复制到17的位置上，颜色为黑色。

步骤2：此时转变为了删除原来的结点25，符合删除操作步骤2的情况C。

删除原来的结点25

步骤3：此时对应于删除操作步骤3的情况5的镜像。

这时进行左旋、变色：以结点null的兄弟15为轴进行左旋，使16旋转至15的位置；再将16变为黑，15变为红，进入情况6的镜像。

再进行右旋和变色：以结点null的父亲25为轴进行右旋，使25的左孩子16旋转至25的位置；再将16与25颜色互换，15结点的颜色置为黑色。至此，这颗红黑树删除结点17的操作完成。

5、总结

本文主要介绍了红黑树的相关原理。首先通过二叉查找树的不足引出红黑树，然后针对红黑树的5大特性，红黑树的插入操作，删除操作，都使用了大量的图形来加以说明。红黑树的应用也非常广泛，如JAVA中的TreeMap和TreeSet都是基于红黑树实现的，且JDK8中HashMap当链表长度大于8时也会转化为红黑树。

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