红黑树背了又忘？带你深入红黑树本质

Posted 2021-04-04 小松漫步

前言

小松最近好久没有更新文章了，是小松懒了吗？

是的。

自从小松拿到了公司的测试机，近5000的小米10 Pro，还有因为内推几十个人得到的airpods pro奖品，还有公司每月发的Q币和点券，于是我的周末变成了这样。

早上10点来公司，信心满满准备好好学一天，看到小米10，心想，要不玩一把王者？

公司的网还贼好，下载近5~6m/s，开局全程50延迟以下，然后打开mac，上爱奇艺播放4k杜比漫威大片，在28寸大屏下当背景音，戴上airpods，世界只剩我一人。

吹着空调，喝着咖啡，动动手指就买了以前就很喜欢的英雄和皮肤（我玩王者几千把了，从来没充过钱）。

于是瞬间中午了……

下午，头晕晕的，学又学不了，写也写不了，不如看b站吧！

二叉树

好了，闲话不多说，以下内容将会建立从二叉树到红黑树的演变过程，掌握这一过程，就不会再忘了，全程请每一个步骤都弄明白。

首先，我们为什么要建立二叉树？

我想答案大同小异，就是增加增删查改的速度。

如果说，一棵树只有左子节点，那么他将和链表没有区别，所以，构建一棵好的二叉树，节点间的平衡是我们要考虑的头等大事，与之对应的，平衡二叉树得到了广泛应用。

现在我们定义一个平衡操作：每增加一个节点，树就自动进行平衡，变成平衡二叉树。

但是实际上，如果每次增加一个节点都要进行平衡操作，显然消耗比较大。

二三树

为了减少这种消耗，所以现在我们考虑设置”二-三树“。

如上图所示，增加一个可以连接三个子节点的节点，而这个节点本身，由两个节点组合而成，也就是说，他可以分裂成两个节点，比如上面的EJ，AC，SX。

单键值节点简称为2-，双键值节点简称为3-。

现在我们有了一棵新的树，我们该干嘛？无脑增删改查。

查找

判断一个键是否在树中，只需要和从根节点开始，小则往左，大则往右，如果进入到两个键值的节点，照样可以比较。

插入

对于普通二叉树而言，插入一个新节点挂在底部是无法保证平衡的，只有特殊的二叉平衡树可以，但是，一棵普通的二三树，就可以完成平衡，分为四（liang）种情况：

第一种：插入到2-的节点中

这个太简单了，只需要在节点中增加要插入的键值即可，比如说，插入k

这种情况，不可能破坏平衡。

第二种：插入到3-节点中（只含有一个3-节点）

想像一下小学时期学过的有丝分裂，我们先暂时将数值直接插入到3-节点，形成4-节点

然后，这个4-节点就可以分为两半，两个2-节点！

分裂的时候，只要保证左小右大即可。

第三种：插入到3-节点中（父节点为2-）

本来，上面两种情况已经完全够的，但是，如果针对每一个3-节点的插入，都像上一条那样分布的话，那么只会导致树中的3-节点不断变少，树的无限利用，必须保持2-，3-的平衡。

如果一个3-节点的父节点是2-，那么插入值到3-节点后，变成4-，4-节点在分裂的时候其中间位置的值可以直接合并到父节点中。

第四种：插入到3-节点（父节点为3-）

在第3条中，相信你一定会有疑问，如果父节点是3-节点，那么合上去岂不是使得父节点变成了4-？那该怎么办？相信你能想到，当然是继续分解咯，左小右大原则。

首先，EJ节点在进行了第3条规则后变成了4-节点。

然后，由于其父节点M为2-，可以继续第3条规则。

以上四种情况都是插入的规则，看似很多，其实很简单，第1条就是简单的合入，第2~4条都是针对插入到3-节点下的情况分析，思路就是：

多则分裂子节点，少则合入父节点。

必不可少的是出现4-节点，这个处理根据父节点和大小不同有1+2+3=6种情况。

在完成了上面的插入之后，你会发现，我们并没有对左右节点区别对待，要么就不生成子节点，要么同时生成左右子节点，所以，二三树从原理上，只要他原来是平衡的，那插入后就一定是平衡的。

二三树生长过程

还记得二叉树是如何生长的吗？有一个根节点，然后自上而下的挂节点，这样的树一不小心就会很丑陋，而二三树呢？是自下而上的，如何往上？分裂后键值大小居中的往上。

为什么我要用丑陋来形容二叉树插入？因为我去年在学《编译原理》时，我们老师就对比过自上而下的LL分析法，和自下而上的LR分析法，他对前者的评价就是”丑陋“。

对比二叉树而二三树，事实上，跳脱出计算机，只要涉及到决策过程都会用到树，而用到树，一定能分自上而下构建和自下而上构建，这种思想是贯通在每一个领域的，大道至简，需要我辈慢慢参悟。

红黑树

你可能快忘了，本文的目标是红黑树，结果我却说了半天的二三树？

这是我在张冠李戴？当然不是，实际上：

红黑树就是将二三树进行”二叉化“

换句话说，就是有二叉树的形式，同时具备二三树的精髓。

为什么要这样？因为二三树虽好，但是实现起来毕竟复杂，各种2-节点，3-节点，4-节点容易错，必须统一为2-节点

节点变成2-节点，也就是说，所有3-节点都要被拆成2-节点，而且我们要想办法记录这一信息。

什么方法？就是节点间的链接方式变成了红色和黑色。

黑色自然是普通链接，红色是什么？

红色是羁绊，红色是姻缘，红色，

是那个被我们残忍拆开的3-节点之间的联系。

上图中的二三树ab节点，转换为红黑树之后，ab就会以红色链接，然后他们的子节点分配，你可能好奇是否可以a做根节点？又子节点为b？答案是不行，因为红链接必须是左链接，原因？在后文中将旋转会解释。

还记得红黑树的性质吗？那些背了就忘的性质。

1. 所有空链到根节点经历的黑链数量相同

   废话，黑链就是二三树中的普通链接，而二三树本身是完美平衡的，当然相同，你可以想象红黑树中的红链都是水平的，因为那本来就是我们人为拆开的

   事实上，将红链接画平，并忽视他，红黑树就是一棵二三树

2. 没有任何一个结点同时和两条红链接相连

   这更是废话了，同时和两条红链，除非他是4-节点，而4-节点在规则中是马上要分裂的。

   （一个脑洞：化学家合不出更大的元素说不定就是因为上帝也制定了类似的规则，以维持平衡）。

虽然我们画的时候是链接红色，但是真实编码的时候，显然，我们是在节点中设置，比如

小结

红黑树由于没有3-，虽然其本质是二三树，插入规则本质也是二三树的插入规则，但是还是需要一些变化。

此时要涉及到更多内容，诸如颜色变换，旋转，等等，限于篇幅，此文是做为红黑树来源的探讨，红黑树所有的性质都是在用二叉树的形式来完成二三树的规则，关于二三树在进行“二叉化”，并改名为红黑树的过程中，他设置了哪些规则，我们下文再聊咯。

本文参考自《算法》第四版