LeetCode-096-不同的二叉搜索树

Posted 2021-11-09 玉树临风，仙姿佚貌

不同的二叉搜索树

题目描述：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

二叉搜索树（Binary Search Tree）：又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

示例说明请见LeetCode官网。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/
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解法一：递归法

• 首先，当n为0的时候，结果是一棵空树，直接返回空的list。
• 当n大于0的时候，使用递归的方法来分别获取左右子树，递归过程如下：
  • 所有节点都可以作为根节点，也就是遍历从1到n的所有值作为根节点，当前根节点为i；
  • 然后i左边的所有的值递归调用方法作为i的左子树；
  • i右边的所有的值递归调用方法作为i的右子树；
  • 最后把根节点i和相应的左右子树拼成一棵树，放到结果集中。
• 最后，返回结果集的size值即为符合条件的二叉搜索树的种数。

说明：该方法参照的 LeetCode-095-不同的二叉搜索树 II，不过在提交的时候超时了。

解法一：规律

找规律可知，当整数为n时，二叉搜索数的结果是前面所有可能的结果之和。

import com.kaesar.leetcode.TreeNode;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class LeetCode_096 {
    /**
     * 递归：该方法运行时超时了
     *
     * @param n
     * @return
     */
    public static int numTrees(int n) {
        // 当n为0的时候，是一棵空树
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        return generateTrees(1, n).size();
    }

    private static List<TreeNode> generateTrees(int start, int end) {
        List<TreeNode> allTrees = new ArrayList<>();
        if (start > end) {
            allTrees.add(null);
            return allTrees;
        }
        for (int i = start; i <= end; i++) {
            // 所有可能的左子树集合
            List<TreeNode> leftTrees = generateTrees(start, i - 1);

            // 所有可能的右子树集合
            List<TreeNode> rightTrees = generateTrees(i + 1, end);

            for (TreeNode leftTree : leftTrees) {
                for (TreeNode rightTree : rightTrees) {
                    TreeNode root = new TreeNode(i);
                    root.left = leftTree;
                    root.right = rightTree;
                    allTrees.add(root);
                }
            }
        }
        return allTrees;
    }
    
    public static int numTrees2(int n) {
        int[] result = new int[n + 1];
        result[0] = 1;
        result[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                result[i] += result[j - 1] * result[i - j];
            }
        }
        return result[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(numTrees(3));
        System.out.println(numTrees2(3));
    }
}

【每日寄语】 年轻是本钱，但不努力就不值钱。

Leetcode 96. 不同的二叉搜索树

题目链接

https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/description/

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
           /     /      /            3     2     1      1   3      2
    /     /                           2     1         2                 3

题解

首先定义一个函数G[n]:表示1...n构成的二叉搜索树的个数。1...n序列中的每个点都可以当做根节点，该节点左边的序列构成左子树，右边的序列构成右子树。比如给定一个序列[1,2,3,4,5,6,7],我们选取节点3为根结点。左子树为[1,2]构成，可以使用G[2]来表示；右子树[4,5,6,7]可以使用G[4]来表示（由G[n]的定义可知，[4,5,6,7]和[1,2,3,4]构成的子树个数相同）。我们使用f(3, 7)来表示序列长度为7，根结点为3时构成的二叉搜索树的个数，则f(3,7) = G[2] * G[4];我们可以推导出f(i, n) = G[i-1] * G[n - i].
由以上分析可知：

G[n] = G[0] * G[n-1] + G[1] * G[n - 2].....G[n-1] * G[0];

分别选取每一个数作为根结点。由上式可知，要计算出G[n]，需要先计算出G[0],G[1]...，运用动态规划的思想求解。

具体分析：
https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/discuss/31666/DP-Solution-in-6-lines-with-explanation.-F(i-n)-G(i-1)-*-G(n-i)

代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = G[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}