PBR中的辐射度量学

Posted 2021-10-20 LiF

PBR的核心法则是基于物理，在渲染领域最关注的就是光，更具体而言是光的表现以及光和物体的交互。而光也是一种电磁辐射，因此渲染中最主要的理论依据都源自辐射度量学(radiometry)，这是专门研究电磁辐射量化的学科。

Domains and measures

在量化电磁辐射之前，需要对场景有一个定义。首先将场景几何抽象为 \\(\\R^3\\)​​​ 中的面(surfaces)的有限集 \\(\\mathrm{M}\\) ，这里的表面是指分段可微的二维流形(Manifold)，出于实现考虑，这里的流形默认都是存在边界 \\(\\partial M\\) 的，否则邻接面之间可能会存在缝隙(gaps)。而 \\(\\mathrm{M}\\)​​ 作为一个集合，其本身并不一定是流形，如：仅含两个相切球的场景。

这些表面会把整个空间划分为一个个相连的区域，而为了简化模型，这里先不考虑体吸收(volume absorption)、自发光(emission)、散射(scattering)等情况，即假设每个区域中都只有非参与介质，这些介质被抽象描述为一个固定的折射率。当然，表面也不一定充当区域划分的边界，如：一个悬浮的平台。

对于一个域 \\(D\\subset\\mathrm{M}\\)​ ，定义度量 \\(A(D)\\)​​ 表示该域的面积，则勒贝格(Lebesgue)积分为

\\[\\int_\\mathrm{M}f(x)\\ dA(x) \\]

其中， \\(f:\\mathrm{M}\\rightarrow \\R\\)​ 是关于表面积的函数。

而方向可以被定义为一个单位向量 \\(\\omega\\in \\R^3\\)​​ ，所有方向构成一个集合 \\(S^2\\)​​​ ，显然这是空间中的单位球面。设 \\(\\sigma\\)​​ 表示 \\(S^2\\)​​ 上的面积度量，则对于给定的方向集合 \\(D\\in S^2\\)​​​​ ，可以定义其对应的立体角(solid angle)为 \\(\\sigma(D)\\)​​ 。类似地，对于一个表面 \\(P\\)​​ ，将其上的点投影到以点 \\(x\\)​​ 为球心的单位球面上，这些点所代表的方向的集合的度量，即为 \\(P\\)​​ 在点 \\(x\\)​​​​​​ 处所对的(subtend，类似平面几何中线段相对于点的对角)立体角。从定义可以看出，立体角本质上是一种面积度量，可以理解为：我们站在某点观测某一物体，物体表面上的每一点都对应着一个观测方向，这些观测方向单位化后的集合也就是对应的立体角。由此，我们可以把通量等描述在由方向构成的立体角上，这么做有利于简化之后对光的各种物理量的描述。

由此派生的一个概念就是投影立体角(projected solid angle)，这一概念通常用于描述irradiance。对于给定点 \\(x\\) ， \\(N(x)\\) 表示表面法线，给定一个方向集合 \\(D\\subset S^2\\) ，投影立体角 \\(\\sigma_x^\\perp\\) 定义为

\\[\\sigma_x^\\perp(D)=\\int_D|\\omega\\cdot N(x)|\\ d\\sigma(\\omega) \\]

其中，点积通常也被写为 \\(\\cos\\theta\\) ，这里的 \\(\\theta\\) 是指 \\(\\omega\\) 的极角，即 \\(\\omega\\)​ 与法线的夹角。

其名称源于最初定义时使用了投影这一操作。设 \\(T_M(x)\\) 为点 \\(x\\) 的切空间，即由垂直于法线的向量构成的空间

\\[T_M(x)=\\{y\\in R^3|y\\cdot N(x)=0 \\} \\]

注意：这里所定义的切空间包含了原点，即这是一个线性空间，而非仿射空间。整个切空间将 \\(S^2\\) 分为了两个半球，分别为上半球：

\\[\\H_+^2(x)=\\{\\omega\\in S^2|\\omega\\cdot N(x)>0\\} \\]

和下半球：

\\[\\H_-^2(x)=\\{\\omega\\in S^2|\\omega\\cdot N(x)<0\\} \\]

对于任一半球上一个给定的方向集合 \\(D\\)​​ ，其投影立体角就是该集合正交投影到切空间后的面积度量。一个最简单的例子：对于一点处的整个上半球表面，其对应的投影立体角就是整个单位圆，故

\\[\\sigma_x^\\perp(\\H_+^2)=\\pi \\]

The phase space

普遍的transport理论研究的是抽象环境中的粒子运动，由于光的粒子性，基于该理论可以定义一系列和辐射相关的物理量。

我们可以用若干时变参数(参数是时间的函数)描述一个粒子。最基本地，可以用位置和速度两个参数描述一个粒子，其包含6个自由度。由此，可以用一个 \\(6N\\) 维向量描述一个包含 \\(N\\) 个粒子的系统。而我们可以将系统状态视为一个在 \\(6N\\)​ 维相空间(phase space)中的点，这个空间包含了所有可能的系统状态。系统状态随时间的改变，在相空间上反映为一条一维曲线。

假设光不发生偏振和干涉，则每个光子可由位置 \\(x\\) ，运动方向 \\(\\omega\\) ，波长 \\(\\lambda\\) 描述。若方向用立体角描述，此模型下，整个相空间也是 \\(6N\\)​​ 维。对于不发生相互作用的粒子(如：光子)，保留这么高维度的相空间意义不大，此时可以让相空间维度对应于单个粒子的状态。基于这个约定，相空间 \\(\\psi\\) 可以降至 \\(6\\) 维，且可表示为

\\[\\psi=\\R^3\\times S^2\\times \\R^+ \\]

此时可以用该空间中的 \\(N\\)​​ 个点表示整个系统的状态，每个点的位置(六个维度的坐标)均为时变参数。

辐射度量学中涉及的物理量都可以在相空间中给出度量，度量值可以经简单计算给定区域中光子的数量而得出，也可以由一或多个参数的density导出定义。如最基本的，光子数量 \\(N_P\\)​ 就是相空间中给定域内的光子数量的度量。

The trajectory space and photon events

在相空间的基础上显式引入时间维度，考虑将相空间中的所有光子随时间的变化以图的方式描述出来，我们可以得到一组一维曲线，并称这组曲线所在的空间为轨迹空间(trajectory space)

\\[\\Psi=\\R\\times\\psi \\]

辐射的各种度量就定义在这些曲线上，沿这些曲线指定一组光子事件(photon events)，然后通过多种方式测量事件的分布，即可定义一个度量。

事件：在物理学中，是指时空间和相空间所指定的时空中的一点，即轨迹空间中的一点。

通过指定一个时间面得到该面与光子轨迹的交点，即可定义一个光子事件。如：选取一个时间 \\(t_0\\)​​ ，在轨迹空间中，超平面 \\(t=t_0\\)​​​​ 与光子轨迹的交点就是该时刻的光子状态，即光子事件。同样，对于给定的 \\(\\R^3\\)​​ 中的平面 \\(P\\)​​ ，可以定义光子事件为 \\(P\\)​​ 在轨迹空间中与超平面 \\(\\R\\times P\\times S^2\\times \\R^+\\)​​​​ 的交集。

一个合理的假设是，轨迹空间包含着数量庞大的事件，因此，事件的密度可以采用连续分布进行建模。也就是说，虽然实际上一个光子的能量是固定的，能量的分布是离散的，但我们可以假设其可以是任意非负实数，能量的取值是连续的。

Radiometric quantities

辐射的度量总是围绕几个重要的物理量展开，而以下的定义是经过简化的，并非完全严格的公理化定义。

Power

辐射量(radiant power)是指单位时间内的能量(energy)

\\[\\Phi={dQ\\over dt} \\]

其量纲为瓦特 \\(\\mathrm{watts[W=J\\cdot s^{-1}]}\\)​​ ，描述的是有限表面 \\(S\\subset \\R^3\\)​​ 发出或吸收的能量的速率。

通常并不会直接定义 \\(Q\\) ，而是定义轨迹空间中的某个区域 \\(D(t)\\) ，该区域随时间变化，而区域内的光子能量即为 \\(Q(t)\\)​ 。例如：考虑度量区域

\\[D(t)=[0,t]\\times S\\times S^2\\times \\R^+ \\]

中发出的能量，其中， \\(S\\subset \\R^3\\)​ 为有限表面，则 \\(Q(t)\\)​ 表示 \\(S\\)​ 在时间 \\([0,t]\\)​ 所发出的能量，故

\\[\\Phi(t)={dQ(t)\\over dt} \\]

表示的就是单位时间发出的能量。这也是更为直观的形式。但通常我们只关注系统达到稳态时的能量分布，此时相空间并不随时间改变，可忽略参数 \\(t\\) ，回到定义的形式。

Irradiance

辐照度(irradiance)是指单位面积的辐射量

\\[E(x)={d\\Phi(x)\\over dA(x)} \\]

其量纲为 \\([W\\cdot m^{-2}]\\) 。其定义总是依赖于点 \\(x\\) 以及确定的法线 \\(N(x)\\)​ 所确定的平面，而ir词缀其实也暗示着其通常用于描述接收的辐射，且通常是在一个面上的辐射，即来自指定的半球。

Radiance

辐射(radiance)描述的是点 \\(x\\) 处，对于给定方向 \\(\\omega\\) ，在微分立体角 \\(d\\sigma(\\omega)\\) 内，通过微表面 \\(dA_\\omega^\\perp(x)\\) 的能量

\\[L(x,\\omega)={d^2\\Phi(x,\\omega)\\over dA_\\omega^\\perp(x)\\ d\\sigma(\\omega)} \\]

其中， \\(A_\\omega^\\perp\\)​ 是垂直于 \\(\\omega\\)​​ 的一个假想平面。其量纲为 \\([W\\cdot m^{-2}\\cdot sr^{-1}]\\)​ ，其中， \\(sr\\)​​​ 是立体角的量纲steradian。在定义中，接收平面是必须垂直于给定方向的，即考量的总是投影面积。

而当度量的是一个实际的平面 \\(S\\) 上的radiance时，公式可以更直观地表示为

\\[L(x,\\omega)={d^2\\Phi(x,\\omega)\\over|\\omega\\cdot N(x)|\\ dA(x)\\ d\\sigma(\\omega)} \\]

其中， \\(A\\) 是 \\(S\\) 的面积， \\(N(x)\\) 是表面法线，上式实际上包含了求投影的运算，因为

\\[dA_\\omega^\\perp(x)=|\\omega\\cdot N(x)|\\ dA(x) \\]

而根据投影立体角的定义， \\(\\cos\\) 项可以与微分立体角组合构成微分投影立体角，则有

\\[L(x,\\omega)={d^2\\Phi(x,\\omega)\\over dA(x)\\ d\\sigma_x^\\perp(\\omega)} \\]

这也是最常使用的式子，因为这里参与运算的是 \\(S\\) 的实际面积 \\(A\\) 。

Spectral radiance

将波长纳入考虑即可进一步定义光谱辐射(spectral radiance)

\\[L_\\lambda={dL\\over d\\lambda} \\]

即

\\[L_\\lambda(x,\\omega,\\lambda)={d^3\\Phi(x,\\omega)\\over dA(x)\\ d\\sigma_x^\\perp(\\omega)\\ d\\lambda} \\]

其量纲为 \\([W\\cdot m^{-2}\\cdot sr^{-1}\\cdot nm^{-1}]\\)​ 。同理可定义spectral power，spectral。光谱辐射通常作为最基本的物理量，其他量都可以由其推出，如对波长积分可以得到radiance，对投影角积分可以得到irradiance。

Incident and exitant radiance functions

通常我们研究的函数采用如下形式

\\[L:\\mathrm{M}\\times S^2\\rightarrow \\R \\]

即radiance表示为场景中的面和立体角构成的相空间到一维空间的映射，等价于

\\[L:R^3\\times S^2\\rightarrow \\R \\]

虽然物理上，radiance不能为负，但为了保证空间的线性性，我们仍保留其中的负数部分。根据 \\(\\omega\\)​ 的不同，我们把radiance分为incident(入射) radiance和exitant(出射) radiance。incident radiance \\(L_i(x,\\omega)\\)​ 描述的是从 \\(\\omega\\)​ 方向到达 \\(x\\)​ 点的radiance，exitant radiance \\(L_o(x,\\omega)\\)​ 描述的是在 \\(x\\)​ 点沿 \\(\\omega\\)​​ 方向发出的radiance，显然有

\\[L_i(x,\\omega)=L_o(x,-\\omega) \\]

但实际上，划分为这两类是因为其具有本质区别，前者表示的是光子到达表面前的状态，后者表示的是光子离开表面后的状态。

The bidirectional scattering distribution function

双向散射分布函数(bidirectional scattering distribution function，BSDF)是对表面光线散射性质的数学描述。设场景中某表面上一固定点为 \\(x\\in\\mathrm{M}\\) ，考察在方向 \\(\\omega\\) 上从 \\(x\\) 发出的radiance \\(L_o(\\omega_o)\\) ，这里暂时忽略位置 \\(x\\) ，显然 \\(L_o(\\omega_o)\\) 的值取决于在所有方向上总共有多少radiance到达了 \\(x\\) 。首先分析来自某个特定的入射方向的贡献，考虑入射方向 \\(\\omega_i\\) ，以 \\(\\omega_i\\) 为轴构建一个极小椎体，这个椎体可以描述为一个微分立体角 \\(d\\sigma(\\omega_i)\\)​ ，来自该椎体的入射光击中表面上的点 \\(x\\) 并产生irradiance \\(dE(\\omega_i)\\)​

\\[dE(\\omega_i)=L_i(\\omega_i)\\ d\\sigma^\\perp(\\omega_i) \\]

随后这部分光线会被表面散射到各个方向，设沿方向 \\(\\omega_o\\) 散射的radiance为 \\(dL_o(\\omega_o)\\) ，由于一般情况下光都是可简单叠加的，即满足线性性，因此无论 \\(dE(\\omega_i)\\) 的变化是来自 \\(L_i\\) 还是 \\(d\\sigma(\\omega_i)\\)​ ，都有

\\[dL_o(\\omega_o)\\propto dE(\\omega_i) \\]

而BSDF \\(f_s(\\omega_i\\rightarrow\\omega_o)\\) 描述的正是这个比例常数，即

\\[f_s(\\omega_i\\rightarrow\\omega_o)={dL_o(\\omega_o)\\over dE(\\omega_i)}={dL_o(\\omega_o)\\over L_i(\\omega_i)\\ d\\sigma^\\perp(\\omega_i)} \\]

用自然语言描述上式： \\(f_s(\\omega_i\\rightarrow\\omega_o)\\) 表示来自 \\(\\omega_i\\) 的每一单位irradiance会有多少比例被转化为 \\(\\omega_o\\) 方向上出射的radiance， \\(\\omega_i\\rightarrow\\omega_o\\) 形象描述光的传播方向。

The scattering equation

根据BSDF的定义，我们可以把differential exitant radiance表示为

\\[dL_o(\\omega_o)=L_i(\\omega_i)f_s(\\omega_i\\rightarrow\\omega_o)\\ d\\sigma^\\perp(\\omega_i) \\]

此时只要对来自所有方向的irradiance对radiance的贡献求积分，就可以得到 \\(\\omega_o\\)​ 方向上的exitant radiance了，即

\\[L_o(\\omega_o)=\\int_{S^2}L_i(\\omega_i)f_s(\\omega_i\\rightarrow\\omega_o)\\ d\\sigma^\\perp(\\omega_i) \\]

这就是(表面)散射方程(scattering equation)。

在有了散射方程之后，对于给定的入射光照，我们可以计算出表面任一点的radiance，基于几何光学对光的唯象表达，这个方程实际上就给出了物体表面外观(即材质)的一个数学表示(尽管它并不能描述所有的光学现象或材质表现)。

The BRDF and BTDF

BSDF并非辐射度量学中的标准概念。通常，散射光会被拆分为反射光(reflected)和透射光(transmitted)两部分，由此也就有了双向反射分布函数(bidirectional reflectance distribution function，BRDF) \\(f_r\\) 和双向透射分布函数(bidirectional transmittance distribution function，BTDF) \\(f_t\\) 。

通过限制域即可得到

\\[f_r:\\H_i^2\\times\\H_r^2\\rightarrow\\R \\]

其中， \\(\\H_i^2\\) 和 \\(\\H_r^2\\) 分别为入射半球和反射半球，但其实两者表示的是同一个方向集合(上半球 \\(\\H_+^2\\) 或下半球 \\(\\H_-^2\\)​ )。

同理有

\\[f_t:\\H_i^2\\times\\H_t^2\\rightarrow\\R \\]

其中， \\(\\H_i^2=-\\H_t^2\\) ，即两者互补(同样，两者可分别为上半球 \\(\\H_+^2\\) 和下半球 \\(\\H_-^2\\) ，或相反)。

因此，BSDF其实是由两个BRDF和两个BTDF组成的(在两个半球上都各自需要一个BRDF和一个BSDF)。

由于BRDF描述的是实际表面上的性质，其具有一些天然的性质，其中最主要的是对称性(symmetric)和能量守恒(energy conservation)。

对称性即

\\[f_r(\\omega_i\\rightarrow\\omega_o)=f_r(\\omega_o\\rightarrow\\omega_i),\\forall\\omega_i,\\omega_o \\]

能量守恒即

\\[\\int_{\\H_o^2}f_r(\\omega_i\\rightarrow\\omega_o)\\ d\\sigma^\\perp(\\omega_o)\\le1,\\forall\\omega_i\\in\\H_i^2 \\]

Angular parameterizations of the BSDF

采用单位向量描述的立体角在计算上并不方便，因此需要对角度进行参数化。对于 \\(\\omega\\in S^2\\) ，其可以表示为一组角向量 \\((\\theta,\\phi)\\) ，其中极角(polar angle) \\(\\theta\\) 是指 \\(\\omega\\) 和法线 \\(N\\) 的夹角，方位角(azimuthal angle) \\(\\phi\\) 是指在切空间内 \\(\\omega\\) 与 \\(x\\) 处的一个特定方向 \\(T\\) 的夹角，即有

\\[\\begin{aligned} \\cos\\theta=\\omega\\cdot N\\\\ \\cos\\phi=\\omega\\cdot T \\end{aligned} \\]

由于立体角是一种面积度量，这里使用微元法分析面积即可自然得到微分立体角的表示。微分立体角可表示为

\\[d\\sigma(\\omega)\\equiv\\ \\sin\\theta\\ d\\theta\\ d\\phi\\equiv\\ d(-\\cos\\theta)\\ d\\phi \\]

微分投影立体角也可以表示为多种形式

\\[\\begin{aligned} d\\sigma^\\perp(\\omega) &\\equiv|\\cos\\theta|\\sin\\theta\\ d\\theta\\ d\\phi\\\\ &\\equiv|\\cos\\theta|\\ d(-\\cos\\theta)\\ d\\phi\\\\ &\\equiv\\sin\\theta\\ d\\sin\\theta\\ d\\phi\\\\ &\\equiv{1\\over2}\\ d(-\\cos^2\\theta)\\ d\\phi\\\\ &\\equiv{1\\over2}\\ d\\sin^2\\theta\\ d\\phi \\end{aligned} \\]

即

\\[\\int_{S^2}\\ d\\sigma^\\perp(\\omega_i)=\\int_0^{2\\pi}\\int_0^\\pi|\\cos\\theta|\\sin\\theta\\ d\\theta\\ d\\phi \\]

由此，scattering equation可以改写为

\\[L_o(\\theta_o,\\phi_o)=\\int_0^{2\\pi}\\int_0^\\pi L_i(\\theta_i,\\phi_i)f_s(\\theta_i,\\phi_i,\\theta_o,\\phi_o)|\\cos\\theta_i|\\sin\\theta\\ d\\theta_i\\ d\\phi_i \\]

虽然引入了参数化的角度表示，但向量表示仍有其优势

• 首先 \\((\\theta,\\phi)\\)​ 是一个局部的方向表示，因为这两个角度都依赖于表面法线
• 在涉及多个表面点的分析中，采用参数表示并不直观
• 参数表示引入了三角函数项，而这部分实际上又是由向量点积实现的
• 参数表示还依赖于切向量 \\(T\\) 以规定一个初始的azimuthal angle，而这并没有任何物理意义

Reference

Eric, Robust Monte Carlo Methods For Light Transport Simulation

PBR渲染方程简单总结和实现

参考技术A

看了很多PBR相关的文章了，虽然复杂，但似乎使用起来很简单的样子。
这儿写个简单版的PBR实现，留下点学习痕迹。

1975年Phong提出Phong反射模型（Phong Reflection Model）：


1977年Blinn对Phong模型做出修改，这就是后来广泛使用的Blinn-Phong反射模型：


一个简单的基于物理的Blinn-Phong：

物理上辐射度量学的基本量及其关系( 符号被我简化了,比如立体角和偏导 )：

辐射率被用来量化单一方向上发射来的光线的大小或者强度，不随距离变化，人眼看到的颜色强度的度量单位就是这个。

PBR的渲染方程（反射方程）一般长这样：

v是观察方向，l是光照方向， 。
有些文章使用 , 表示按向量的分量相乘，因为 和 都包含RGB三个分量。
辐射率与辐照度按定义有这样的关系:

双向反射分布函数BRDF的定义是： 。

积分方程一般用蒙特卡洛方法近似计算，即便如此，也是 不能实时计算 ，一般都是先离线预处理。知道的几个方法

对于理想光源（点光源、方向光等）， 是没有意义的，比如平行光，只有一个方向有值，且值是无限大。
对于理想光源照射的物体来说，有意义的是辐照度 ，渲染方程退化成：

这个方程可以在shader里实时算。

下面这个模型大概是叫Cook-Torrance BRDF模型吧。
首先BRDF分为漫反射和镜面反射两部分：
系数用来控制能量守恒的。

n是表面法线
h就是前面提到的半角向量，在这儿它多了一个含义，微表面法线

α是表面的粗糙度（ UE的文章定义 ，导致有些文章写错了，这儿直接就是roughness ），n是表面法线。这个方程是大佬特地研究出来的。

菲涅尔现象是掠角越大，镜面反射越强，表现出边缘高光现象。
表示的是表面基础反射率，这个值区分了金属和非金属。金属大于0.5，非金属小于0.2，并且常见的非金属小于0.04。
这个值输入的方式一般是：金属的通过贴图输入，非金属的直接设置为0.04。

前面提到的系数 与 有关系。
令 ，就能达到能量守恒了：镜面反射+漫反射<=1，同时还减弱金属的漫反射。

其中 有各种不同的方案，disney、unity、unreal的渲染方程就有差别。
这儿只是列一个可行的方案。

分两种情况

PBR的渲染需要综合间接光才能效果不错。

PBR需要在线性空间里计算，不同光源是可以线性相加的。当结果>1时，有专门的算法归一。


exposure 默认是1，可以设置，也可以根据上一帧的图像平均亮度平滑过渡。
可以看 LearnOpenGL 的评论区。

只实现了一个，只支持一个平行光。
额外利用了Unity内置的一些功能：Shadow,SH环境光，SkyBox。
标准胶囊体的渲染接近Standard了，有那么个感觉了。
获取环境间接光的部分真是~~~下次搞懂吧。