百钱百鸡算法优化

Posted 2021-10-16 冰白寒祭

关于百钱百鸡问题以及算法优化
问题描述：
我国古代数学家张丘建在《算经》一书中曾提出过著名的“百钱买百鸡”问题，该问题叙述如下：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？

翻译过来，意思是公鸡一个五块钱，母鸡一个三块钱，小鸡三个一块钱，现在要用一百块钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

解法如下：

点击查看代码

package bqbj;

public class Bqbj {
	public static void main(String[] args) {
		
		long startTime=System.nanoTime(); //获取开始时间
		Bqbj s1 = new Bqbj();
		s1.suanfa1();//测试的代码段
		long endTime=System.nanoTime(); //获取结束时间
		System.out.println("程序运行时间： "+(endTime-startTime)+"ns");
	
		long startTime1=System.nanoTime(); //获取开始时间
		Bqbj s2 = new Bqbj();
		s2.suanfa2();//测试的代码段
		long endTime1=System.nanoTime(); //获取结束时间
		System.out.println("程序运行时间： "+(endTime1-startTime1)+"ns");
		
		long startTime2=System.nanoTime(); //获取开始时间
		Bqbj s3 = new Bqbj();
		s3.suanfa3();//测试的代码段
		long endTime2=System.nanoTime(); //获取结束时间
		System.out.println("程序运行时间： "+(endTime2-startTime2)+"ns");
		
		
	}
	//穷举法
 void suanfa1(){
		int i,j,k;
		for(i = 0;i<=100;i++) {
			for(j = 0;j<=100;j++) {
				for(k = 0;k<=100;k++) {
					if((i + j + k == 100)&&(5*i + 3*j + k/3 == 100)) {
						if(k%3==0) {
						System.out.println("公鸡为" + i +"\\t"+"母鸡为" + j +"\\t"+"小鸡为" + k +"\\t");
						}
					}
					
				}
				
			}
			
		}
		
		
	}

 void suanfa2() {
	 
	 int i,j,k,m;
		for(i=0;i<=20;i++){
			m = 100-i*5;             //缩小了i的范围，减少了遍历
			for(j=0;j<=m/3;j++){	 
				k=3*(m-3*j);        //k直接可以求出来，不需要在用一个循环
				if(i+j+k==100){
					System.out.println("公鸡为" + i +"\\t"+"母鸡为" + j +"\\t"+"小鸡为" + k +"\\t");
				}
			}
		}
	}
 
 void suanfa3() {
	 int i,j,k;
for(i = 0;i <= 20;i++) {
	j = (200-14*i)/8;
	if(j>=0) {
	k =100-i-j;
	if((i + j + k == 100)&&(5*i + 3*j + k/3 == 100)) {
		System.out.println("公鸡为" + i +"\\t"+"母鸡为" + j +"\\t"+"小鸡为" + k +"\\t");
	
				}
			}	 
 		}
 	}
}

三种方法所用时间如下：

点击查看代码

公鸡为0	母鸡为25	小鸡为75	
公鸡为4	母鸡为18	小鸡为78	
公鸡为8	母鸡为11	小鸡为81	
公鸡为12	母鸡为4	小鸡为84	
程序运行时间： 2106100ns
公鸡为0	母鸡为25	小鸡为75	
公鸡为4	母鸡为18	小鸡为78	
公鸡为8	母鸡为11	小鸡为81	
公鸡为12	母鸡为4	小鸡为84	
程序运行时间： 76900ns
公鸡为0	母鸡为25	小鸡为75	
公鸡为4	母鸡为18	小鸡为78	
公鸡为8	母鸡为11	小鸡为81	
公鸡为12	母鸡为4	小鸡为84	
程序运行时间： 63100ns

百钱百鸡，用高中数学优化算法

背景介绍

学习算法的道路上总会有各种各样的感受，偶然间碰到一个源自我国的算法问题，百钱百鸡问题，貌似很经典的问题了，可是我才刚刚知道，感觉自己太LOW了。题目是出自古代的一本叫做算经的书，原文是文言文就不往出贴了，贴了也看不懂，说大家能听懂的话就是：

有公鸡，母鸡，小鸡三种鸡，公鸡5块钱一只，母鸡三块钱一只，小鸡一块钱三只，要求用一百块钱买上面三种鸡（都要有），并且三种鸡总数是一百只，要求所有的解法。

分析

在感叹古人物价的同时，思考题目，其实很简单，只需要满足两个条件：

公鸡 + 母鸡 + 小鸡 = 100

买公鸡的钱 + 买母鸡的钱 + 买小鸡的钱 = 100

只需要满足上面两个条件即可，循环嵌套然后做判断就OK了，突然有了上大学Java期末考试时候的感觉。

写代码

因为有了上学时候的亲切感，所以就先使用Java来实现这段代码吧：

public class MoneyBuyChicken {  
  public static void main(String[] args) {

    // 定义各种鸡的价钱
    int GONG_JI = 5;
    int MU_JI = 3;
    int XIAO_JI = 1/3;

    // 100块钱最多能卖20只公鸡而且要求各种鸡都要有
    // 所以 公鸡的数量是小于20只的
    for(int i = 1; i < 20; i++) {
      // 和公鸡同理，母鸡最多的数量为33只
      for(int j = 1; j < 33; j++) {
        //计算出当前状态下小鸡的数量和剩下的钱
        int remainMoney = 100 - (i * GONG_JI + j * MU_JI);
        int xiaoJiCount = remainMoney * 3;

        // 对需要满足的条件做判断
        if(xiaoJiCount > 0 && i + j + xiaoJiCount == 100) {
          System.out.printf("公鸡%d只，母鸡%d值，小鸡%d只\\n", i, j, xiaoJiCount);
        }
      }
    }
  }
}

运行上述代码，得到结果：

公鸡4只，母鸡18值，小鸡78只

公鸡8只，母鸡11值，小鸡81只

公鸡12只，母鸡4值，小鸡84只

这在只检查结果的考试中已经OK了，交卷走人！但是，当我们看下这个算法的性能的时候，很明显就可以看到其中的问题。

上述代码使用了两层嵌套，那么它的时间复杂度为O(n^2)，这个在我们的应用中基本是不可以接受的，虽然从100只鸡中体现不出性能问题，但是如果在量级很大的地方性能问题就很明显了，所以站在学习的角度上，必须对这个进行优化。

思考

现在想想，这样的题目，貌似使我们初中奥数，或者高中数学中很常见的题目，回想当时的方法，得出了以下三元一次方程组，通过解方程组可以得到三种鸡之间的关系:

设：公鸡数量为x, 母鸡数量为y, 小鸡数量为z
则：
   5x + 3y + z/3 = 100   ①
   x + y + z = 100       ②

解：
   将①的等式两边都乘以3可以到的下列等式
   15x + 9y + z = 300    ③
   将③-②可以得到以下等式
   14x + 8y = 200
   通过上面等式进而可以得到
   y = (200 - 14x) / 8   ④
   同理将②的等式两边同时乘以3得到的等式减去①可以得到下列等式
   8z/3 - 2x = 200
   进而可以得到
   z = (600 + 6x) / 8    ⑤

至此已经得出了y(母鸡)，z(小鸡)和x(公鸡)之间的转化关系。~~（看着上面的解方程步骤感觉好亲切，虽然当时可能都不会写）

优化算法

上面我们通过数学方程的知识得到了三种鸡之间的关系，那么我们把这个结果应用到我们的代码中进行优化：

public class MoneyBuyChickenOptimize {  
  public static void main(String[] args) {

    // 定义各种鸡的价钱
    int GONG_JI = 5;
    int MU_JI = 3;
    int XIAO_JI = 1/3;

    // 100块钱最多能卖20只公鸡而且要求各种鸡都要有
    // 所以 公鸡的数量是小于20只的
    for(int i = 1; i < 20; i++) {

      // 将方程式中推导的结果带入得到各种鸡的数量
      int gongJiCount = i; // 公鸡数量
      int muJiCount = (200 - 14 * i) / 8; // 母鸡数量
      int xiaoJiCount = (600 + 6 * i) / 8; // 小鸡数量

      // 判定条件
      if(muJiCount > 0
      && xiaoJiCount > 0
      && gongJiCount + muJiCount + xiaoJiCount == 100) {
        System.out.printf("公鸡%d只，母鸡%d值，小鸡%d只\\n", gongJiCount, muJiCount, xiaoJiCount);
      }
    }
  }
}

完成，上述代码时间复杂度为O(n)，比之前的性能提升了很多，我们的目标也就达成了。

结束语

和上学时候的感觉一样，觉得学校学习的东西没有什么用；而这样一道题也一样，在工作中没有人会让写一个百钱百鸡的问题，但是我们应该从中了解到数学对于算法的帮助，在算法中有好多好的方法是不容易直接想到的，但是和这里一样，通过简单的高中数学思考一下，效果就完全不一样了。

 

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