可逆矩阵

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可逆矩阵

  矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵,若存在 $n$ 阶矩阵 $B$,使得矩阵 $A、B$ 的乘积为单位阵,则称 $A$ 为可逆阵,$B$ 为 $A$ 的逆矩阵。若方阵的逆阵存在,则称为可逆矩阵或非奇异矩阵,且其逆矩阵唯一。

定义

  设  $P$  是数域, $A \\in P^{n \\times n}$ , 若存在  $B \\in P^{n \\times n}$ , 使得  $A B=B A=E$, $E$  为单位阵, 则称  $A$  为可逆阵,  $B$  为  $A$  的逆矩 阵, 记为  $B=A^{-1}$  。若方阵  $A$  的逆阵存在,则称  $A $ 为可逆矩阵或非奇异矩阵。

性质

  • 若 $A$ 为可逆矩阵,则 $A$ 的逆矩阵是唯一的。
  • 设 $ A 、 B$ 是数域 $ P$ 上的 $ n$ 阶矩阵, $ k \\in P_{\\circ} $
  • 若 $ A$ 可逆,则 $ A^{-1}$ 和 $ A^{T}$ 也可逆,且 $ \\left(A^{-1}\\right)^{-1}=A, \\quad\\left(A^{T}\\right)^{-1}=\\left(A^{-1}\\right)^{T}$ ;
  • 若 $ A$ 可逆,则 $ k A$ 可逆 $ \\Leftrightarrow k \\neq 0 $,且 $ (k A)^{-1}=\\frac{1}{k} A^{-1}$ ;
  • $ A 、 B$ 均可逆 $ \\Leftrightarrow(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ 。

常用方法

(1) 判断或证明 $A$ 可逆的常用方法:

  • 证明 $ |A| \\neq 0$ ;
  • 找一个同阶矩阵 $ B$ ,验证 $ A B=B A=E$ ;
  • 证明 $ A$ 的行向量 (或列向量) 线性无关。


(2) 求 $ A^{-1}$ 的方法:

  • 公式法: $ A^{-1}=\\frac{1}{|A|} A^{*} $, 其中 $ A^{*} $ 为矩阵 $ A$ 的伴随矩阵。
  • 初等变换法:对 $ (A \\quad E)$ 作初等变换,将 $ A$ 化为单位阵 $ E$ , 单位矩阵 $ E$ 就化为 $ A^{-1}$ 。

 

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