noip模拟67

Posted 2021-10-04 WindZR

考试过程：读一遍题觉得比较有难度，就从看起来比较可做的T1开始。
我以为这是个树形DP，但是想了想没什么思路，只想到一个复杂度可以达到\\(o(n^2)\\)的做法，但是我不会\\(o(n)\\)对子树信息进行合并，就放了。
后面几个题同样是没什么思路，就打了几个暴搜。
但是T3，T4我忘了取模，导致我没有拿到那一部分暴力分。
总结：考试中的暴力分一定不能白丢，做完题之后可以再读一遍题面进行检查。

T1 数据恢复

思路：先从菊花图说起，假如我们不考虑父节点的影响，想使得总价值最大，那么我们可以对于每个物品按照\\(a/b\\)排序后从小到大选。证明：假设\\(j<i\\)要让\\(i\\)在\\(j\\)后面被选的条件是\\(b_j\\times a_i >a_j\\times b_i\\),化简一下即可。

这里说一下合并操作，我们可以给每个点一个\\(id\\)和\\(pos\\),这个\\(pos\\)是不断自加的，在将儿子合并到父亲的过程中将新的点的编号设为pos,那么当前点在操作完后就被\\(pop\\)了，我们可以不管。对于这个点的\\(fa\\),我们将他的\\(no[pos]=1\\)，以后再遇到直接\\(continue\\)即可。
代码如下：

AC_code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define re register int
#define ii inline int
#define iv inline void
#define f() cout<<"fuck"<<endl
#define head heeead
#define next neet
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int n,ans,jb,timi;
int fa[N*30],be[N*30];
bool vis[N*30],no[N*30];
struct node
{
	int a,b,id,pos;
	friend bool operator < (node x,node y) {return x.a*y.b>x.b*y.a;}
}cun[N*30];
priority_queue<node> q;
ii read()
{
	int x=0;char ch=getchar();bool f=1;
	while(ch<\'0\' or ch>\'9\')
	{
		if(ch==\'-\') f=0;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>=\'0\' and ch<=\'9\')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return f?x:(-x);
}
ii gett(int x) {return x==be[x]?x:be[x]=gett(be[x]);}
signed main()
{
	freopen("data.in","r",stdin),freopen("data.out","w",stdout);
	n=read();
	for(re i=2;i<=n;i++)
		fa[i]=read();
	for(re i=1;i<=n;i++) cun[i]=(node){read(),read(),i,i};
	for(re i=2;i<=n;i++) q.push(cun[i]);
	for(re i=1;i<=n;i++) be[i]=i;
	int cnt=n;
	vis[1]=1;
	timi=n;
	jb=cun[1].b;
	while(q.size())
	{
		++timi;
		int y=q.top().pos,x=q.top().id;
		if(no[y]) {q.pop();continue;}
		int fx=gett(fa[x]);
		if(vis[fx])
		{
			vis[x]=1,--cnt,ans+=jb*q.top().a,jb+=q.top().b;
			q.pop();	
		}
		else
		{
			be[x]=fx;
			ans+=cun[fx].b*q.top().a;
			no[cun[fx].pos]=1;
			cun[fx]=(node){cun[fx].a+q.top().a,cun[fx].b+q.top().b,cun[fx].id,timi};
			q.pop();
			q.push(cun[fx]);
			--cnt;
		}
	}
	printf("%lld\\n",ans);
	return 0;
}

T2 下落的小球

前置芝士 ：可重集排列

若\\(\\sum^{n}_{i=1}x_i==K\\),\\(x_i\\)是每种元素的\\(size\\),那么对于这些数组成的序列的排列方案数为\\(\\frac{K!}{\\prod^{n}_{i=1}(x_i)!}\\)

---

思路：因为\\(\\sum^{n}_{i=1}a_i==n\\)，所以若使得所有球都被取出，那么就要让每个点跑满。

对于这张图，我们以\\(1\\)为跟，那么我们可以得到以\\(2,3,4\\)为跟的子树的\\(size\\)和\\(a_i\\)之和，为了满足题意，每个子树需要上面补的球的数量为\\(\\sum a_i-size\\),所以从上面往下掉球的方案数为可重集排列的方案数。
接下来考虑子树之间的方案，因为子树内部掉球顺序可变，所以这些\\(size\\)还要做一个可重集排列，最后再将这些方案相乘即可。
代码如下：

AC_code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define re register int
#define ii inline int
#define iv inline void
#define f() cout<<"fuck"<<endl
#define head heeead
#define next neet
using namespace std;
const int N=1e6+10;
const int mo=1e9+7;
int n,tot,ans=1;
int fa[N],a[N],size[N],sum[N],v[N];
int to[N<<1],next[N<<1],head[N];
int jc[N],inv[N],pos[N];
ii read()
{
	int x=0;char ch=getchar();bool f=1;
	while(ch<\'0\' or ch>\'9\')
	{
		if(ch==\'-\') f=0;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>=\'0\' and ch<=\'9\')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return f?x:(-x);
}
iv add(int x,int y)
{
	to[++tot]=y;
	next[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
ii ksm(int d,int z)
{
	int out=1;
	while(z)
	{
		if(z&1) out=out*d%mo;
		z>>=1;
		d=d*d%mo;
	}
	return out;
}
iv dfs(int st,int f)
{
	size[st]=1;
	sum[st]=a[st];
	int dn1=1,dn2=1;
	for(re i=head[st];i;i=next[i])
	{
		int p=to[i];
		if(p==f) continue;
		dfs(p,st);
		size[st]+=size[p];dn1=dn1*jc[size[p]]%mo;
		sum[st]+=sum[p];dn2=dn2*jc[(sum[p]-size[p])]%mo;
	}
	dn1=ksm(dn1,mo-2),dn2=ksm(dn2,mo-2);
	if(head[st]) ans=ans*jc[size[st]-1]%mo*dn1%mo*jc[sum[st]-size[st]+1]%mo*dn2%mo;
}
signed main()
{
	freopen("ball.in","r",stdin),freopen("ball.out","w",stdout);
	n=read();
	jc[0]=1;
	for(re i=1;i<N;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
	inv[N-1]=ksm(jc[N-1],mo-2)%mo;
	for(re i=N-2;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mo;
	for(re i=2;i<=n;i++) fa[i]=read(),add(fa[i],i);
	for(re i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	dfs(1,0);
	printf("%lld\\n",ans);
	return 0;
}