RMQ算法讲解

Posted 2021-09-23 旭风°

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title: "RMQ"
author: Sun-Wind
date: September 22, 2021

RMQ

RMQ概念

RMQ指的是Range Minimum/Maximum Query 即为区间最值问题。

此问题放眼看去似乎是一个比较简单的问题，我们可以直接朴素算法走一遍区间，找到最值即可，但是这样的话时间复杂度为O(n)
如果题目中所给的有多个询问，这时候我们如果还坚持朴素算法的话，必然会超时
这时候RMQ算法的优势就体现出来了，这里着重讲解ST算法实现查找区间最值
初始化需要的时间复杂度接近O(nlogn),但是查询的时间复杂度为O(1),这在时间上具有很大的优势

初始化的思路

首先我们需要一个二维dp数组dp[a][b],储存的是从序号a开始的2^b 个元素注意是从a开始数的，也就是说这个数组存的是【a,a+2^b -1】这个区间的最值
所以自然会有

for(int i = 1; i <= n; ++i)
dp[i][0] = Matrix[i];//Matrix数组存的是输入的数据

这里命名为dp数组是因为这个还涉及到了动态规划的思路，尤其是区间dp的思想，由小区间递推到大区间，详情请继续往下阅读

递推

要从小区间递推到大区间，我们这里采用了分割的方式，也就是先找[a,a+2^0 -1]的最值，然后再找[a + 2^0 ,a + 2^0 + 2 ^0 - 1],这里我们列举的是初始区间，然后这两个区间合并成大区间[a,a + 2^0 + 2 ^0 - 1]。感觉没懂(⊙o⊙)？
<dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i + (1 << (j -1))][j - 1]);>
我们刚刚实现的就是j=1的情况，看吧，(●\'◡\'●)，这就是从区间长度为1，推到区间长度为2的过程。

• 下面我们来解释一下i和j这两个处于循环中的变量。j就是我们的区间长度，也就是从第i个数开始的2^j 个数。显然1 << j <= n;对于每一个这样的小区间，我们循环i从第一个数开始逐渐更新每一个区间的最值，但是每次更新时要保证右边的区间不能超过n，也就是i + (1 << j -1) <= n;

for(int j = 1; 1 << j <= n;++j)
for(int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= n;++i)
dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i + (1 << (j -1))][j - 1]);

第一个难题解决了，这不就好起来了？ヾ(≧▽≦*)o

细节思考

当然其实我们仔细思考就会发现这个算法的每个区间除了第一个以外都是偶数，那万一他给个不符合条件的区间怎么办，显然我们似乎不能直接一步从dp数组中得到问题的答案，这里我们采用的是从两个有重叠的区间中找到我们需要的答案（因为这两个重叠的区间都已经被更新过了）
答案是<max(dp[a][k],dp[b - (1 << k) + 1][k])>,其中k=log2(b-a+1);（k取下标）为什么是这个，且听我徐徐道来(〃￣︶￣)人(￣︶￣〃)

结果证明

上面的代码求的是【a,a + 2 ^k -1】和【b- 2^k +1,b】这两个区间的最值，根据刚才的思考我们只需要证明b- 2^k +1<=a+ 2^k -1就可以了，这里采用分析法来证明
如图所示

下面贴出所有得代码

#include<iostream>
#include<utility>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define fi(a,b) for(int i = a; i <= b; ++i)
#define fr(a,b) for(int i = a; i >= b; --i)
using pii = pair<int,int>;
int Matrix[200005];
int dp[200000][20];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n,m;
cin >> n ;
fi(1,n)
cin >> Matrix[i];
cin >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
dp[i][0] = Matrix[i];
for(int j = 1; 1 << j <= n;++j)
for(int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= n;++i)
dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i + (1 << (j -1))][j - 1]);
while(m--)
{
    int a,b;
    cin >> a >> b;
    int k = log2(b - a + 1);
    cout << max(dp[a][k],dp[b - (1 << k) + 1][k]) << endl;
}
return 0;
}

RMQ算法得介绍就到这里，要是觉得讲得还好得话就点个赞再走吧(●\'◡\'●)