ARC126F

Posted 2021-09-22 wlzhouzhuan

[ARC126F] Affine Sort

给定一个长为 \\(N\\) 的序列 \\(x\\) ，定义 \\(f(K)\\) 表示满足下述条件的 \\((a,b,c)\\) 个数：

• \\(1\\le c\\le K,0\\le a,b<c\\) ；
• \\((ax_i+b)\\bmod c\\) 递增

可以证明 \\(\\lim \\limits_{k\\to \\infty} \\frac{f(K)}{k^3}\\) 趋向一个定值，对 998244353 取模。

\\(2\\le N\\le 10^3,\\sum\\limits_{i=1}^{N}X_i\\le 5\\cdot 10^5\\) ， \\(X_i\\) 两两不同。

Solution

我们记 \\(g(k)\\) 表示 \\(c=k\\) 的满足条件的 \\((a,b)\\) 对数，则：

引理1： \\(\\lim\\limits_{k\\to \\infty} \\frac{g(k)}{k^2}\\) 趋向一个定值 \\(C\\) 。

因此 \\(\\lim\\limits_{k\\to \\infty}\\frac{f(K)}{K^3}=\\lim\\limits_{K\\to \\infty} \\sum\\limits_{k=1}^{K} \\frac{g(k)}{K^3}=\\lim\\limits_{k\\to \\infty}\\sum\\limits_{k=1}^{K}\\frac{Ck^2}{K^3}=\\frac{C}{3}\\) 。

约定 \\(\\{x\\}\\) 表示 \\(x\\) 的小数部分，例如 \\(\\{-5.2\\}=0.8\\) 。于是我们将原条件转换为：\\(\\{\\frac{ax_i+b}{c}\\}\\) 单调递增。

因为 \\(k\\to \\infty\\) ，不难联想到定义点集 \\(D\\subset \\mathcal R^2\\) ：\\(D=\\{(a,b)\\in [0,1]^2 | \\{ax_i+b\\} 单调递增 \\}\\) 。那么，\\(g(k)\\) 可以看做是满足 \\(0\\le a,b<k,(\\frac{a}{k},\\frac{b}{k}) \\in D\\) 的点的面积，即 \\(g(k)=\\text{area}(D)\\)。

将这些 \\(\\{ax_i\\}\\) 都画在一个单位圆上，它们需要逆时针排布。不难发现，这个 \\(\\{ax_i+b\\}\\) 单调递增的充要条件是：\\(\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\{a(x_{i+1}-x_i)\\}=1\\) 。同时若 \\(a\\) 合法，满足条件的 \\(b\\) 个数为 \\(\\{a(x_1-x_n)\\}\\) 。

而对于每个 \\(i\\) ，\\(a\\) 只有在 \\(\\frac{*}{|x_{i+1}-x_i|}\\) 的时刻会出现断点（即小数部分 \\(±1\\) ）。总共有 \\(\\sum\\limits_{i=1}^{n} |x_{i+1}-x_i|\\le \\sum\\limits_{i=1}^{n}(x_i+x_{i+1})=\\mathcal O(\\sum\\limits_{i=1}^{n}x_i)\\) 个断点。

因此将断点排序，相邻两断点间的 \\(\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\{a(x_{i+1}-x_i)\\}\\) 是相同的，而区间内对 \\(\\text{area}(D)\\) 的贡献即为 \\(\\int_{l}^{r} \\{a(x_1-x_n)\\}\\) ，这是好求的（注意，是趋近于 \\(l,r\\) ，断点处的取值是忽略的，所以实现上有一些细节）。

时间复杂度 \\(\\mathcal O(\\sum x_i)\\) 。