浅谈gamma函数

Posted 2021-09-17 ファイナル

我们尝试将阶乘函数从整数域拓展到实数域，这时就需要一些手段来构造一个函数\\(f(x)\\)满足对于\\(\\forall x\\in N,f(x)=x!\\)

\\[\\frac{1}{1-x}=\\sum_{i=0}^\\infty x^i\\\\ \\]

这是易得的，考虑换种方式表现：

\\[\\int_{0}^{+\\infty}e^{nt}dt\\\\=\\int_{0}^{+\\infty}e^xd\\frac{x}{n}\\\\=\\frac{1}{n}\\int_{0}^{+\\infty}e^xdx\\\\=\\lim_{t\\rightarrow +\\infty}\\frac{e^{nt}-1}{n} \\]

当\\(n\\leq 0\\)时，原式收敛于\\(-\\frac{1}{n}\\)

是的，我们考虑用这东西来表示\\(\\frac{1}{1-x}\\)

\\[\\frac{1}{1-x}=\\int_{0}^{+\\infty}e^{-t(1-x)}dt\\\\=\\int_{0}^{+\\infty}e^{-t}e^{xt}dt\\\\=\\int_{0}^{+\\infty}e^{-t}\\sum_{i=0}^{+\\infty}\\frac{(xt)^i}{i!}dt\\\\=\\sum_{i=0}^{+\\infty}\\frac{\\int_{0}^{+\\infty}e^{-t}t^idt}{i!}x^i \\]

对照最开头的式子，有没有发现什么？

所以我们得到了：

\\[n!=\\int_{0}^{+\\infty}e^{-x}x^ndx \\]

也就是欧拉在\\(\\Large 22\\)岁时想出的做法（而这个问题是哥德巴赫在\\(\\tiny 38\\)岁时向伯努利请教的，碰巧欧拉和伯努利当时在一起。。。）

他所定义的\\(\\Gamma(x)=\\int_{0}^{+\\infty}e^{-t}t^{x-1}dt=(x-1)!\\)

（为什么不直接定义成\\(x!\\)呢？）

至于应用，之后找时间再填坑吧

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\\(\\tt Upd:2021.9.17\\)

我们可以用\\(\\Gamma\\)函数化简级数

\\[\\begin{aligned} &\\sum_{i=1}^\\infty \\frac{1}{i^i}\\\\ =&\\sum_{i=1}^\\infty\\frac{\\Gamma(i)}{i^i*(i-1)!}\\\\ =&\\sum_{i=1}^\\infty \\frac{1}{i^i(i-1)!}\\int_{0}^{+\\infty}(\\frac{t}{i})^{i-1}e^{-t}dt\\\\ =&\\sum_{i=1}^\\infty \\frac{1}{(i-1)!}\\int_{0}^{+\\infty}t^{i-1}e^{-it}dt\\\\ =&\\sum_{i=1}^\\infty \\frac{1}{(i-1)!}\\int_{0}^{1}(-\\ln u)^{i-1}u^id(-\\ln u)\\\\ =&\\sum_{i=1}^\\infty \\frac{1}{(i-1)!}\\int_{0}^{1}(-\\ln u)^{i-1}u^{i-1}du\\\\ =&\\int_0^{1}\\sum_{i=1}^\\infty\\frac{(-u\\ln u)^{i-1}}{(i-1)!}du\\\\ =&\\int_0^1\\exp(-u\\ln u)du\\\\ =&\\int_0^1u^{-u}du \\end{aligned} \\]

回代就自己回代吧

倒数第3步用了勒贝格控制收敛定理

（如果出锅我也懒得修了

因果乃旋转纺车，光彩之多面明镜
浮世苍茫，不过瞬逝幻梦
善恶爱诳，皆有定数
于命运之轮中
吞噬于黄泉之冥暗
呜呼，吾乃梦之戍人
幻恋之观者
唯于万华镜中，永世长存