[Contest on 2021.9.7] 睡着了,但不完全睡着了
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[Contest on 2021.9.7] 睡着了,但不完全睡着了相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
\\(\\text{Strange Queries}\\)
解法
首先有这样的转移:
其中 \\(0/1\\) 表示 \\(n\\) 否/是与 \\(n-1\\) 建立关系。但这题需要我们进行区间合并,这个 \\(\\mathtt{dp}\\) 提醒我们从两个方向来思考:维护 \\(\\mathtt{dp}\\) 转移方式(矩阵);改写一个可以区间合并的 \\(\\mathtt{dp}\\)。
这里只讲区间合并的 \\(\\mathtt{dp}\\)。类似地,我们在区间 \\([l,r]\\) 上维护四个变量:\\(l,r\\) 两个端点都建立关系的最小值;\\(l,r\\) 两个端点中,\\(l\\) 或 \\(r\\) 可以不 建立关系的最小值;\\(l,r\\) 均 可以不 建立关系的最小值。这四个变量是一层一层想到的。另外,需要注意 "可以不" 并不是 "不",这导致转移时可以不考虑某些情况,因为已经被包含在限制较小的变量中了。
具体就用一棵平衡树维护,还需要维护区间 \\(\\max,\\min\\) 来表示 \\(\\lvert a_n-a_{n-1}\\rvert\\)。最开始建树的时候要先排序。
代码
#include <cstdio>
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
template <class T>
inline T read(const T sample) {
T x=0; char s; bool f=0;
while((s=getchar())>\'9\' or s<\'0\')
f|=(s==\'-\');
while(s>=\'0\' and s<=\'9\')
x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),
s=getchar();
return f?-x:x;
}
template <class T>
inline void write(const T x) {
if(x<0) {
putchar(\'-\');
write(-x);
return;
}
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
}
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+5;
int n,q,idx,rt;
struct node {
int mn,mx,siz,ls,rs,key,val;
ll ans,bl,br,ba;
void Put() {
printf("VALUE %d %d %d\\n",mn,mx,val);
printf("%lld %lld %lld %lld\\n",ba,bl,br,ans);
}
} t[maxn];
int NewNode(int x) {
t[++idx].siz=1;
t[idx].ls=t[idx].rs=0;
t[idx].key=rand();
t[idx].siz=1;
t[idx].val=t[idx].mn=t[idx].mx=x;
t[idx].ba=t[idx].bl=t[idx].br=0;
t[idx].ans=1e15;
return idx;
}
void Update(const node &a,const node &b,node &o) {
node t=o; int inc=b.mn-a.mx;
t.ba=min(a.bl+b.br,a.ba+b.ba+inc);
t.bl=min(a.bl+b.ans,a.ba+b.bl+inc);
t.br=min(a.ans+b.br,a.br+b.ba+inc);
t.ans=min(a.ans+b.ans,a.br+b.bl+inc);
o=t;
}
void pushUp(int o) {
if(!o) return;
int l=t[o].ls,r=t[o].rs;
t[o].siz=t[l].siz+t[r].siz+1;
t[o].mn=t[o].mx=t[o].val;
t[o].ba=t[o].bl=t[o].br=0;
t[o].ans=1e15;
if(l) Update(t[l],t[o],t[o]),t[o].mn=t[l].mn;
if(r) Update(t[o],t[r],t[o]),t[o].mx=t[r].mx;
}
void split(int o,int k,int &x,int &y) {
if(!o) x=y=0;
else {
if(t[o].val<=k)
x=o,
split(t[o].rs,k,t[o].rs,y);
else
y=o,
split(t[o].ls,k,x,t[o].ls);
pushUp(o);
}
}
int merge(int x,int y) {
if(!x or !y) return x|y;
if(t[x].key<t[y].key) {
t[x].rs=merge(t[x].rs,y);
pushUp(x);
return x;
}
else {
t[y].ls=merge(x,t[y].ls);
pushUp(y);
return y;
}
}
int Val[maxn];
int main() {
srand(20210907);
int a,b,c;
for(int T=read(9);T;--T) {
n=read(9),q=read(9);
rt=idx=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
Val[i]=read(9);
sort(Val+1,Val+n+1);
for(int i=1;i<=n;++i)
rt=merge(rt,NewNode(Val[i]));
while(q--) {
int x,y;
x=read(9),y=read(9);
if(x==1) {
split(rt,y-1,a,b);
rt=merge(merge(a,NewNode(y)),b);
}
else {
split(rt,y-1,a,b);
split(b,y,b,c);
b=merge(t[b].ls,t[b].rs);
rt=merge(merge(a,b),c);
}
print(t[rt].ans>1e14?0:t[rt].ans,\'\\n\');
}
}
return 0;
}
\\(\\text{[TJOI 2013] }\\)拯救小矮人
解法
首先将小矮人按照 \\(a_i+b_i\\) 从小到大排序。为什么捏?不妨令 \\(H-(a_i+b_i)\\) 是第 \\(i\\) 个小矮人的逃生高度,对于相邻小矮人 \\(i,j\\),如果我们期望 两个小矮人都逃出去,那么放逃生高度越大的小矮人越优。
但问题是有可能小矮人不逃出去更优,可以令 \\(dp_i\\) 为逃出 \\(i\\) 个小矮人后可以垒出的最大高度,这是一个 \\(\\mathcal O(n^2)\\) 的 \\(\\mathtt{dp}\\)。
更优的做法是反悔贪心。先依次使可以逃出的小矮人逃出,并用优先队列记录它的 \\(a\\),到某个无法逃出的小矮人 \\(i\\) 时,我们考虑这样操作:找到队列中最大的 \\(a\\),如果踢回这个小矮人能使 \\(i\\) 逃出,且 \\(\\max a>a_i\\),我们就把这个小矮人 \\(j\\) 换成 \\(i\\)。
首先 \\(j\\) 到 \\(i\\) 这段的小矮人肯定是不受影响的,如果 \\(j\\) 能够使之间的小矮人逃出就早换了。对于之后的小矮人,垒出的高度变高了,解也就变优了。这是 \\(\\mathcal O(n\\log n)\\) 的。
代码
#include <cstdio>
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
template <class T>
inline T read(const T sample) {
T x=0; char s; bool f=0;
while((s=getchar())>\'9\' or s<\'0\')
f|=(s==\'-\');
while(s>=\'0\' and s<=\'9\')
x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),
s=getchar();
return f?-x:x;
}
template <class T>
inline void write(const T x) {
if(x<0) {
putchar(\'-\');
write(-x);
return;
}
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
}
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=2005;
int n;
struct node {
int a,b;
bool operator < (const node &t) const {
return a+b<t.a+t.b;
}
} s[maxn];
priority_queue <int> q;
int main() {
n=read(9);
for(int i=1;i<=n;++i)
s[i]=(node){read(9),read(9)};
sort(s+1,s+n+1);
int h=read(9);
long long sum=0; int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
sum+=s[i].a;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(sum+s[i].b>=h) {
sum-=s[i].a,++ans;
q.push(s[i].a);
}
else {
if(!q.empty() and sum+q.top()+s[i].b>=h and q.top()>s[i].a) {
sum+=q.top()-s[i].a;
q.pop();
q.push(s[i].a);
}
}
print(ans,\'\\n\');
return 0;
}
\\(\\text{[ICPC World Finals 2019] Hobson }\\)的火车
题目描述
给你多棵内向基环树,对于每个点,求出有多少个点走 \\(\\le k\\) 步能走到这个点。
解法
感觉自己的脑子里根本不存在差分这个东西,好几次想用树链剖分硬艹了…
先找出环,\\(\\rm dfs\\) 每个环上点的子树,用一个栈动态维护这个节点到根的节点,这样就可以找到走 \\(k+1\\) 才能走到的那个祖先。
然后考虑点对环的贡献。考虑破环为链,随便选一个点作为 \\(rt_0\\)(链的起点)。如果能贡献整个环,就将 \\(rt_0\\) 的差分数组加一,反之计算出它在环上贡献的一段区间 \\([l,r]\\),需要注意有 \\(l>r\\) 的情况,这时需要将 \\(rt_0\\) 的差分数组加一。
代码
#include <cstdio>
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
template <class T>
inline T read(const T sample) {
T x=0; char s; bool f=0;
while((s=getchar())>\'9\' or s<\'0\')
f|=(s==\'-\');
while(s>=\'0\' and s<=\'9\')
x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),
s=getchar();
return f?-x:x;
}
template <class T>
inline void write(const T x) {
if(x<0) {
putchar(\'-\');
write(-x);
return;
}
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
}
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
int n,k,f[maxn],ans[maxn];
int vis[maxn],stk[maxn],tp;
int dep[maxn],siz;
vector <int> e[maxn],rt;
void dfs(int u,int root) {
if(!vis[u]) vis[u]=1;
stk[++tp]=u;
if(tp>k+1)
if(stk[tp-k-1]^rt[root])
--ans[stk[tp-k-1]];
for(auto v:e[u]) {
if(vis[v]==2) continue;
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v,root);
if(u^rt[root])
ans[u]+=ans[v];
}
--tp;
if(dep[u]-1<=k) {
if(dep[u]-1+siz>k+1) {
++ans[rt[root]];
--ans[rt[(root+k-dep[u]+2+siz)%siz]];
if((root+k-dep[u]+2+siz)%siz<=root)
++ans[rt[0]];
}
else ++ans[rt[0]];
}
if(rt[root]^u) ++ans[u];
}
void work(int x) {
rt.clear();
while(vis[x]^2) {
if(vis[x])
rt.push_back(x);
++vis[x]; x=f[x];
}
siz=rt.size();
for(int i=0;i<rt.size();++i)
dep[rt[i]]=1,dfs(rt[i],i);
for(int i=1;i<rt.size();++i)
ans[rt[i]]+=ans[rt[i-1]];
}
int main() {
n=read(9),k=read(9);
for(int i=1;i<=n;++i) {
f[i]=read(9);
e[f[i]].push_back(i);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!vis[i]) work(i);
for(int i=1;i<=n;++i)
print(ans[i],\'\\n\');
return 0;
}
简单题
题目描述
有两个长度为 \\(K\\) 的数列 \\(a,b\\),满足 \\(\\sum a_i=N,\\sum b_i=M\\)。
定义权值 \\(P\\) 为
你需要求出所有可能数列组合的权值之和。取模 \\(998244353\\)。
多组数据,\\(T\\le 100,N,M,K\\le 5\\cdot 10^5\\)。
解法
定义 \\(dp_{i,j,k}\\) 为在第 \\(i\\) 位,数列 \\(a\\) 数字和为 \\(j\\),数列 \\(b\\) 数字和为 \\(k\\) 的权值之和。那么有:
这是 \\(\\mathcal O(n^4k)\\) 的。具体优化可以枚举 \\(\\min\\{x,y\\}\\),后两维的前缀和即可,应该还要再容斥一下,就有 \\(\\mathcal O(n^3k)\\) 了。
我们可以思考权值的组合意义 —— 定义 \\(\\{c\\}\\) 满足 \\(\\forall i,c_i\\le \\min\\{a_i,b_i\\}\\),那么对于固定的 \\(\\{a\\},\\{b\\}\\),所有合法的 \\(\\{c\\}\\) 的个数即为权值!
转化一下,对于每种 \\(\\{c\\}\\),计算 \\(\\{a\\},\\{b\\}\\) 的种类数。
枚举 \\(s=\\sum c_i\\),为了保证条件成立,可以先令 \\(c_i=a_i=b_i\\),再将 \\(N-s\\),\\(M-s\\) 填入 \\(K\\) 个位置(插板法),就有:
注意初始时先将 \\(1\\) 填入每一个位置,所以后面两个组合数的上面本来还要加个 \\(K\\),就抵消掉了。
以上是关于[Contest on 2021.9.7] 睡着了,但不完全睡着了的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
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