图元

Posted 2021-08-26 LiF

目前的图形学研究都绕不开几何图元，其中个人学习中比较难以理解的是隐式曲线和曲面，与之对应的偏导、梯度等几何信息，以及与模型表示最为密切的三角形，因此写下此篇总结，供复习回顾。

隐式曲线曲面

2D曲线最符合直觉的定义可以是：在一张纸上一笔所画出的一条线，而这条线可以表示为一系列点的集合。对于一般情形，用一个方程可以描述任意二维实曲线：

\\[f(x,y)=0 \\]

由于这条曲线是在方程中隐式定义的，因此也称为隐式曲线。

常见的隐式曲线有：

隐式直线：

\\[Ax+By+C=0 \\]

隐式二次曲线：

\\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 \\]

如隐式椭圆：

\\[f(\\textbf{p})={(x-x_c)^2\\over a^2}+{(y-y_c)^2\\over b^2}-1=0 \\]

3D隐式曲面与2D隐式曲线类似，可用隐函数

\\[f(x,y,z)=0 \\]

定义3D隐式曲面，函数的解集即为曲面上所有点的集合，我们可以通过隐函数判断点是否在面上，但大多数时候我们无法显化其表达式，即无法显式构造位于面上的点。

为方便表示，记 \\(\\textbf{p}=(x,y,z)\\) ，则

\\[f(\\textbf{p})=0 \\]

常见的隐式曲面：

隐式平面：已知平面包含点 \\(a\\) ，且法向量为 \\(\\textbf{n}\\) ，则平面方程为

\\[(p-a)\\cdot\\textbf{n}=0 \\]

3D隐式二次曲面如椭球面：

\\[f(\\textbf{p})={(x-x_c)^2\\over a^2}+{(y-y_c)^2\\over b^2}+{(z-z_c)^2\\over c^2}-1=0 \\]

由方程组定义的3D隐式曲线 (曲面的交线)：

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} f(\\textbf{p})&=0\\\\ g(\\textbf{p})&=0 \\end{aligned} \\right. \\]

梯度

梯度是一个重要的度量，在几何领域，除了用梯度描述变化之外，梯度还经常用于求法线等操作。

对于一维的情况，我们可以用极限定义导数为切线斜率。而一个二维函数并不能做类似一维情况下的极限运算，因为对于给定的 \\(x\\) ，\\(f\\) 的变化方式多种多样，而如果我们把 \\(y\\) 视为常数，则可以定义一个类似导数概念，这就是偏导数 (Partial Derivatives)：

\\[{\\partial f\\over\\partial x}=\\lim_{\\Delta x\\rightarrow0}{f(x+\\Delta x,y)-f(x,y)\\over\\Delta x} \\]

如果把函数值当成第三维，那么可以表示为一个高度场，此时 \\((x,y,f(x,y))\\) 是一个三维表面。在 \\(xOy\\) 平面上任意指定一个方向，我们都可以定义一个该表面的导数，该导数值是沿这样一个方向的导数，这个方向在 \\(xOy\\) 平面的投影为我们所指定的方向，这就是方向导数 (Directional Derivatives)。对应回二维的情况，这里实质上是对导数做了推广。对 \\(x\\)求导，实际上是求沿 \\(x\\)​ 方向的函数变化率，既然是对方向求导，自然可以推广到沿任意方向求导，也就是方向导数。 (但其实有细微区别，通常讨论的可求导或偏导，指的是沿轴向双向均可导且导数值均相同)

设 \\(l\\)​ 是 \\(xOy\\) 平面上以 \\(P_0(x_0,y_0)\\) 为始点的一条射线， \\(e_l=(\\cos\\alpha,\\cos\\beta)\\) 是与 \\(l\\) 同方向的单位向量 (方向余弦表示)，射线 \\(l\\)​ 的参数方程为

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} x&=x_0+t\\cos\\alpha\\\\ y&=y_0+t\\cos\\beta \\end{aligned} \\right. \\]

则方向导数可定义为

\\[\\left.{\\partial f\\over\\partial l}\\right|_{(x_0,y_0)}=\\lim_{t\\rightarrow0^+}{f(x_0+t\\cos\\alpha,y_0+t\\cos\\beta)-f(x_0,y_0)\\over t} \\]

在可微条件下，有

\\[\\begin{aligned} &f(x_0+\\Delta x,y_0+\\Delta y)-f(x_0,y_0)\\\\ =&f_x(x_0,y_0)\\Delta x+f_y(x_0,y_0)\\Delta y+o\\left(\\sqrt{(\\Delta x)^2+(\\Delta y)^2} \\right)\\\\ =&f_x(x_0,y_0)\\cos\\alpha+f_y(x_0,y_0)\\cos\\beta+o\\left(t\\right) \\end{aligned} \\]

故

\\[\\left.{\\partial f\\over\\partial l}\\right|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\\cos\\alpha+f_y(x_0,y_0)\\cos\\beta \\]

基于方向导数可以定义梯度。梯度 (Gradients)是一个向量，它指示的就是这样一个方向：从当前点出发在曲线上运动时，沿该方向运动，高度爬升得最快，变化率最快，或者说，方向导数最大。可以定义梯度

\\[\\mathrm{grad}f(x_0,y_0)=\\nabla f(x_0,y_0)=f_x\'\\ \\textbf{i}+f_y\'\\ \\textbf{j} \\]

其中， \\(\\nabla={\\partial\\over\\partial x}\\ \\textbf{i}+{\\partial\\over\\partial y}\\ \\textbf{j}\\) 为向量微分算子Nabla。

根据方向导数的定义可知，

\\[\\left.{\\partial f\\over\\partial l}\\right|_{(x_0,y_0)}=(f_x\',f_y\')\\cdot e_l=\\left|\\mathrm{grad}f(x_0,y_0)\\right|\\cos\\theta \\]

由于射线的方向向量是单位向量，因此最终方向导数可以表示为上式，其中， \\(\\theta\\)​ 是射线方向向量与梯度方向的夹角。当射线方向与梯度方向相同时，方向导数取得最大值，且最大值为梯度的模。

若取平面 \\(z=c\\) 截该高度场，可得一等值线

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} z&=f(x,y)\\\\ z&=c \\end{aligned} \\right. \\]

对应隐式曲线 \\(f(x,y)=c\\)​ ，改写为参数形式

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} x&=x\\\\ y&=y(x) \\end{aligned} \\right. \\]

隐函数两边对 \\(x\\) 求偏导可得，

\\[f_x(x,y)=f_x(x,y(x))=f_x\'+f_y\'\\ y_x\'=(f_x\',f_y\')\\cdot(1,y_x\')=0 \\]

对比定义可知，上式点积为0即表明梯度与切向量垂直。

特别地，令 \\(c=0\\)​ 即原曲线，也即，曲线法向量可用梯度方法求，且有

\\[\\nabla f(x,y)=({\\partial f\\over\\partial x},{\\partial f\\over\\partial y}) \\]

类似地，3D隐式曲面的法线为

\\[\\textbf{n}=\\nabla f(\\textbf{p})=\\left({\\partial f\\over\\partial x},{\\partial f\\over\\partial y},{\\partial f\\over\\partial z} \\right) \\]

同样地，梯度法所求的法线方向指向的是 \\(f(\\textbf{p})>0\\) 的区域。

参数曲线曲面

有时使用参数方式定义的隐式曲线曲面会更便于计算，同时，参数形式给出了一种构造点的方法。

2D参数曲线通常定义为

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} x&=g(t) \\\\ y&=h(t) \\end{aligned} \\right. \\]

如圆

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} x&=R\\cos\\theta\\\\ y&=R\\sin\\theta \\end{aligned} \\right. \\]

3D参数曲线通常定义为

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} x&=f(t)\\\\ y&=g(t)\\\\ z&=h(t) \\end{aligned} \\right. \\]

如螺线

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} x&=\\cos t\\\\ y&=\\sin t\\\\ z&= t \\end{aligned} \\right. \\]

3D参数曲面通常定义为

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} x&=f(u,v)\\\\ y&=g(u,v)\\\\ z&=h(u,v) \\end{aligned} \\right. \\]

如球面

\\[\\left\\{ \\begin{aligned} x&=R\\cos\\phi\\sin\\theta\\\\ y&=R\\sin\\phi\\sin\\theta\\\\ z&=R\\cos\\theta \\end{aligned} \\right. \\]

三角形与重心坐标

三角形是最基本的图元。由于通常我们只拥有给定的三角形的顶点处的信息，在图形计算中，需要插值以生成可平滑覆盖的像素信息。而三角插值依赖最多的是重心坐标。

重心坐标 (Barycentric Coordinates)是一个非标准正交的坐标系，其以三角形的一个顶点为坐标原点，以过该点的两边为坐标轴。在三角形所在平面内的任意一点 \\(\\textbf{p}\\) 均可表示为

\\[\\textbf{p}=\\textbf{a}+\\beta(\\textbf{b}-\\textbf{a})+\\gamma(\\textbf{c}-\\textbf{a}) \\]

令 \\(\\alpha=1-\\beta-\\gamma\\) ，整理得一个对称表达的形式

\\[\\textbf{p}=\\alpha\\textbf{a}+\\beta\\textbf{b}+\\gamma\\textbf{c} \\]

则 \\((\\alpha,\\beta,\\gamma)\\) 称为点 \\(\\textbf{p}\\) 的重心坐标。

利用重心坐标可快速判断点与三角形的位置关系：

• 若坐标分量均位于 \\((0,1)\\) ，则点在三角形内
• 若坐标分量恰有一个为0，且其余两个均位于 \\((0,1)\\) ，则点在三角形上
• 若坐标分量有两个为0，则点与三角形顶点重合
• 除此之外，点在三角形外

由于重心坐标的表达式已给出，则可以得到一个关于坐标的方程组，直接求解即可得到重心坐标。但这种方法没有将其几何意义融入计算。

对于重心坐标的一个理解是：坐标的分量值对应该顶点到其对边的有向比例距离 (Signed Scaled Distance)。

利用之前隐式曲线的知识，对于边 \\(ac\\)​ ，设其对应隐函数为 \\(f(x,y)=0\\)​ (这里以二维情况讨论，而其结论可以几乎完全推广到三维情况，只需添加一维坐标即可)，而对于函数 \\(d=kf(x,y)\\)​ ，其表示的正是平面内的点到边 \\(ac\\) 有向比例距离，对比重心坐标可知，我们只需要找到一个 \\(k\\) ，使得 \\(kf(x_b,y_b)=1\\)​ ，因此我们得以计算重心坐标

\\[\\beta={f_{ac}(x,y)\\over f_{ac}(x_b,y_b)} \\]

代入两点坐标，以直线的一般式表示则有

\\[\\beta={(y_a-y_c)x+(x_c-x_a)y+x_ay_c-x_cy_a\\over(y_a-y_c)x_b+(x_c-x_a)y_b+x_ay_c-x_cy_a} \\]

同理可得 \\(\\gamma\\) 的表达式，再由 \\(\\alpha=1-\\beta-\\gamma\\) 即可计算重心坐标。

另一种理解重心坐标的方式是面积法。同样考虑边 \\(ac\\) ，以之为底的三角形，以同样的 \\(\\beta\\) 为高时，三角形的面积不变，且当 \\(\\beta=1\\) 时，面积为整个三角形的面积，即

\\[\\beta={A_b\\over A} \\]

在允许面积带有方向时，该方法也可以表示面内所有的点。又由叉积可得三角形法线和面积

\\[\\textbf{n}=(b-a)\\times(c-a)\\\\ A={1\\over2}||\\textbf{n}|| \\]

这个面积并非有向面积，所以并不能直接用于面积法求重心坐标。但可以观察到，当三角形的三个顶点绕序不同时，其有向面积的符号也是不同的。因此我们定义

\\[\\textbf{n}_a=(c-b)\\times(p-b) \\]

对应由点p、b、c组成的三角形，若p、a均位于bc的一侧，则叉积方向一致，反之则反。又因为所有点均在同一平面内，因此， \\(\\textbf{n}\\) 和 \\(\\textbf{n}_a\\) 平行。那么，

\\[\\alpha={A_{signed,a}\\over A_{signed}}={{1\\over2}||\\textbf{n}_{a}||\\cdot signed(\\textbf{n}_a)\\over{1\\over2}||\\textbf{n}||\\cdot signed(\\textbf{n})}={||\\textbf{n}||\\ ||\\textbf{n}_{a}||\\cdot <\\textbf{n},\\textbf{n}_a>\\over||\\textbf{n}||\\ ||\\textbf{n}||\\cdot <\\textbf{n},\\textbf{n}>} ={\\textbf{n}\\cdot\\textbf{n}_a\\over\\textbf{n}\\cdot\\textbf{n}} \\]

推广到3D情况，此时我们假设涉及的点均为三维空间中的点，上述规则仍然成立。

参考

Fundamental of Computer Graphics 4th Edition, Chapter 2.