一些奇妙的东西

Posted 2021-08-25 夜螢光

几何部分

托勒密定理：圆内接四边形 \\(ABCD\\) 中 \\(AB\\cdot CD+ AD\\cdot BC=AC\\cdot BD\\)。（证明截长补短即可）

中线定理：在 \\(\\triangle ABC\\) 中，记 \\(M\\) 为 \\(BC\\) 边中点，则 \\(AB^2+AC^2=\\frac{1}{2}AM^2+BC^2\\)。（证明使用向量）

Pappus 定理：

如图，\\(GHI\\) 三点共线。

Pascal 定理：

如图，圆内接六边形 \\(BCGEFD\\) 中，\\(BC\\cap EF=I\\)，\\(CG\\cap FD=J\\)，\\(GE\\cap BD=H\\)，\\(HIJ\\) 三点共线。

张角定理：在 \\(\\triangle ABC\\) 中，\\(D\\) 是 \\(BC\\) 上的一点，则 \\(\\frac{\\sin\\angle BAD}{AC}+\\frac{\\sin\\angle CAD}{AB}=\\frac{\\sin\\angle BAC}{AD}\\)。