分层图总结

Posted 2021-08-25 luyiming的小屋

分层图。

分层图

分层图主要就是通过将图分为几层，每层内部都有边，然后各层之间也有边，用于解决对边权进行操作且操作数少的题目。

Example

给一个无向图，求\\(1 \\to n\\)的最短路径，其中可以选择不超过\\(k\\)条边让边的边权变为一半。 \\(n \\le 50,m \\le 1000,k \\le 50\\)。

考虑建立\\(0,1,2,\\cdots,k\\)层共\\(k + 1\\)层图。定义\\(P(x,y)\\)为第\\(y\\)层的点\\(x\\)。每层内部都按照原图连边，然后考虑边\\((u,v) \\in E\\)，对于第\\(i\\)和\\(i + 1\\)层（\\(i + 1 \\le k\\)），连无向边\\(P(u,i) \\to P(v,i + 1)\\)和\\(P(v,i) \\to P(u,i + 1)\\)，边权为\\(w / 2\\)。然后跑一遍最短路，答案为\\(\\min_{i = 0} ^ k \\{dis_{P(n,i)}\\}\\).

如果用pq优化的Dijkstra实现，时间复杂度为\\(\\mathcal{O}(mk + mk \\log{mk})\\)。

Problem

• P4822 [BJWC2012]冻结
  就是上面的例子。
• P4568 [JLOI2011]飞行路线
  一个套路。
• 某模拟赛题/某CF题

一个无向图，求\\(S \\to T\\)的最短路，一条路径的长度定义为路径上的边权和减去最大边权加上最小边权。

发现其实就是\\(\\sum_{w \\neq w_{\\max},w \\neq w_{\\min}} w + 2 \\cdot w_{\\max}\\)
跑分层图即可。