专题笔记#1质数

Posted 2021-08-19 Theophania

记录一些与质数有关的东西，不严谨，但有趣。

Prime Number Theorem

质数定理：

\\([1,N]\\) 中质数的个数 \\(\\pi(N)\\sim \\dfrac{N}{\\log(N)}\\)。

Dirichlet\'s theorem on arithmetic progressions

狄利克雷定理：

对于任意互质正整数对 \\((r,N)\\)，模 \\(N\\) 余 \\(r\\) 的质数集合相对于质数集合的密度为 \\(\\dfrac{1}{\\varphi(N)}\\)，其中 \\(\\varphi(N)\\) 为欧拉函数。

这个定理告诉我们一个有趣的事实：若正整数 \\(a,b\\) 互质，则集合 \\(\\{a+nb \\mid n \\in N\\}\\) 中有无穷多个质数。

Dirichlet series

具有以下形式的无穷级数被称为狄利克雷级数：

\\[\\sum_{n=1}^{\\infty}\\dfrac{a_n}{n^s} \\]

其中 \\(s\\) 是一个复数，\\(a_n\\) 是一个复数列。

很多狄利克雷级数都可以通过莫比乌斯反演和狄利克雷卷积得到。

Riemann zeta function

黎曼 \\(\\zeta\\) 函数是一种特殊的狄利克雷级数。

设一复数 \\(s\\) 满足 \\(\\Re(s)\\gt 1\\)，则定义：

\\[\\zeta(s)=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\dfrac{1}{n^s} \\]

\\(s=1\\) 时，右边就是我们熟悉的调和级数。

有这样一个优美的性质：

\\[\\dfrac{1}{\\zeta(s)}=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\dfrac{\\mu(n)}{n^s} \\]

其中 \\(\\mu(n)\\) 就是莫比乌斯函数。

Euler product

欧拉乘积：

若 \\(f\\) 为积性函数，则狄利克雷级数 \\(\\sum_n f(n)n^{-s}\\) 等于欧拉乘积 \\(\\prod_p P(p,s)\\)，其中 \\(P(p,s)\\) 为 \\(\\sum_{n=0}^{\\infty}f(p^n)p^{-ns}\\)。

完全形态太复杂了，当 \\(f\\) 为完全积性函数时，\\(P(p,s)\\) 是等比级数，为 \\(\\dfrac{1}{1-f(p)p^s}\\)。

有趣的是，当 \\(f(n)=1\\) 时，欧拉乘积就变成了黎曼 \\(\\zeta\\) 函数，即：

\\[\\sum_{n=1}^{\\infty}\\dfrac{1}{n^z}=\\prod _p\\dfrac{1}{1-p^{-z}} \\]

这个等式的证明非常有趣，我们将等式左边记为式 \\((0)\\)，然后不断重复以下操作：

1. 将式 \\((i-1)\\) 乘上 \\(p_i^{-1}\\)，\\(p_i\\) 表示第 \\(i\\) 个质数，记为式 \\((*)\\)；
2. 将式 \\((i-1)\\) 减去式 \\((*)\\)，记为式 \\(i\\)。

容易发现这就是埃氏筛的原理，最后所有质数的倍数都被筛掉了，所以会得到这样的等式：

\\[\\prod_p(1-p^{-s})\\zeta(s)=1^{-s} \\]

把 \\(\\prod\\) 移到右边就完事了。

现在来看一个问题：任取两个正整数互质的概率是多少？

任取两个正整数，则它们都不是第 \\(k\\) 个质数的倍数的概率应该是 \\(1-\\dfrac{1}{p_k^2}\\)。

那么这两个数互质的概率就应该是 \\(\\prod(1-\\dfrac{1}{p^2})\\)，根据上面的等式，相当于 \\(\\dfrac{1}{\\zeta(2)}\\)，即 \\(\\dfrac{6}{\\pi^2}\\)。

这个问题还可以加强一下，详见 这篇博客。