CF1557D.Ezzat and Grid（2200分线段树）

Posted 2021-08-12 绿憨憨

https://codeforces.com/contest/1557

题意：

给出一个\\(n*10^9\\)的01矩阵。用\\(m\\)个区间表示。（\\(1 \\leq n,m \\leq 3 \\times 10^5\\)）

每个区间包含三个信息：\\(i,l,r\\)。表示在第\\(i\\)行，第\\(l\\)个元素到第\\(r\\)个元素是1。

一个矩阵被称为美丽的，当且仅当，这个矩阵任意相邻的两行，存在一个位置\\(p\\)使得这两行这个位置都为1。

询问最少要删除几行使得矩阵是美丽的。

输出一个方案。

题解：

我们定义：

\\(f[i]\\)为在保留第\\(i\\)行的前提下，最少删除几行使得前\\(i\\)行是美丽的。

\\(pre[i]\\)为\\(f[i]\\)表示的状态下，上一个未被删除的行的编号。

那么我们可以枚举\\(i\\)之前的行，设我们当前枚举的是\\(j\\)，如果第\\(i\\)行和第\\(j\\)行有某个位置都是1，那么\\(f[i]\\)可以由\\(f[j]+i-j-1\\)转移过来。

换句话说，对于所有满足条件的\\(j\\)，我们取\\(f[j]+i-j-1\\)的最小值作为\\(f[i]\\)的答案。

即：\\(f[i]=min_{j=1}^{i-1}f[j]+i-j-1[行i和行j有一个位置都是1]\\)

然后把这个式子移项，想方设法让\\(i\\)和\\(j\\)独立：

\\(f[i]-i=min_{j=1}^{i-1}f[j]-j-1\\)

观察到式子右边只和\\(j\\)有关了。

然后我们考虑如何找满足条件\\([行i和行j有一个位置都是1]\\)的\\(j\\)的数量。

可以先对所有区间\\([i,l,r]\\)做离散化处理，然后用线段树维护两个信息：

下标\\(i\\)表示第\\(i\\)个点为\\(1\\)的所有行的最小\\(f[j]-j-1\\)值和对应\\(j\\)的值。

节点\\(u\\)表示所管辖区间内\\(f[j]-j-1\\)的最小值和对应\\(j\\)的值。

然后在转移的过程中，参考线段树求最长递增子序列的思路，先对当前第\\(i\\)行的所有区间，区间询问线段树的最小值，然后取最小值和那个对应的下标转移给\\(f[i]\\)和\\(pre[i]\\)。然后对第\\(i\\)行的所有区间，用\\(f[i]-i-1\\)去和区间里的值取\\(min\\)，即对区间内的每个数\\(a_i\\)，\\(a_i=min(a_i,f[i]-i-1)\\)。

对于这部分，懒惰标记有点细节处理：

假设我们要使得区间内\\(a_i=min(a_i,v)\\)。

1）如果当前区间的最小值大于\\(v\\)，就更新当前区间的最小值和下标，同时把懒惰标记往下打。

2）如果当前区间的最小值小于等于\\(v\\)，就直接往下打懒惰标记，不修改当前区间的信息。

最后，枚举\\(f[i]+n-i\\)的最小值，得到最优答案和最后一个没有被删除的行的位置，根据\\(pre[i]\\)往前递归求出所有没有被删除的行。

剩下的就是被删除的行，输出即可。