AtCoder Beginner Contest 213

Posted 2021-08-09 十步

目录

• $\\text{G - Connectivity 2}$
  • 解法
  • 代码

\\(\\text{G - Connectivity 2}\\)

解法

设 \\(f(s)\\) 是点集为 \\(s\\) 形成 全连通块 的个数，\\(g(s)\\) 是点集为 \\(s\\) 形成连通块的个数，\\(k\\) 的答案是 \\(h(k)\\)。

\\[h(k)=\\sum_{\\{1,k\\}\\subseteq s\\subseteq U} f(s)\\cdot g(U-s) \\]

对于每个 \\(k\\) 都能在 \\(\\mathcal O(2^n)\\) 内计算。

如何求解 \\(f,g\\)？\\(g\\) 比较好算，假设 \\(s\\) 内包含可选边集为 \\(e(s)\\)，那么 \\(g(s)=2^{|e(s)|}\\)。可以在 \\(\\mathcal O(m\\cdot 2^n)\\) 内算出所有的 \\(g\\)。

关于 \\(f\\)，有：

\\[f(s)=g(s)-\\sum_{t\\subsetneq s}f(t)\\cdot g(s-t) \\]

这个转移是 \\(\\mathcal O(3^n)\\) 的。

代码

#include <cstdio>
#define print(x,y) write(x),putchar(y)

template <class T>
inline T read(const T sample) {
	T x=0; char s; bool f=0;
	while((s=getchar())>\'9\' or s<\'0\')
		f|=(s==\'-\');
	while(s>=\'0\' and s<=\'9\')
		x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),
		s=getchar();
	return f?-x:x;
}

template <class T>
inline void write(const T x) {
	if(x<0) {
		putchar(\'-\'),write(-x);
		return;
	}
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
}

const int mod=998244353,maxn=(1<<17);

int n,f[maxn],g[maxn],e[20][20],m,U;
int ans[20];

int qkpow(int x,int y) {
	int r=1;
	while(y) {
		if(y&1) r=1ll*r*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod; y>>=1;
	}
	return r;
}

int main() {
	n=read(9),m=read(9);
	int u,v;
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		u=read(9),v=read(9);
		e[u][v]=e[v][u]=1;
	}
	U=(1<<n);
	for(int i=0;i<U;++i) {
		int e_cnt=0;
		for(int j=1;j<=n;++j)
			if((i>>j-1)&1)
				for(int k=j+1;k<=n;++k)
					if(((i>>k-1)&1) and e[j][k])
						++e_cnt;
		g[i]=qkpow(2,e_cnt);
	}
	for(int i=0;i<U;++i) {
		if(!(i&1)) continue;
		f[i]=g[i];
		for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i) {
			if(!(j&1)) continue;
			f[i]=(f[i]-1ll*f[j]*g[i^j]%mod+mod)%mod;
		}
		int tmp=1ll*f[i]*g[(U-1)^i]%mod;
		for(int j=2;j<=n;++j)
			if((i>>j-1)&1)
				ans[j]=(ans[j]+tmp)%mod;
	}
	for(int i=2;i<=n;++i)
		print(ans[i],\'\\n\');
	return 0;
}