数学家的迷题（bitset+线段树）

Posted 2021-08-04 CCSU_Cola

题意：给一个序列，共有两个操作。

1.可以修改某个位置的值为x。

2.给一个区间l,r，T=a[l]×a[l+1]×...×a[r−1]×a[r],问T有多少个质因子。

思路：多个数相乘的答案的质因子个数为每个数字的质因子存入集合去重后的个数。因为需要对每个数的质因子进行去重和存储，可以用bitset存储质因子，然后做与运算即可，但是由于空间限制，我们应先将小于1e5的质因子求出来，然后直接处理，由于求出来后直接for循环分解也会超时，需要优化成直接找到最小质因子的方式，然后建立线段树进行单点修改和区间查询就可以解决此题。

分解质因子优化代码：

int low_prime[maxn], primes[maxn];
int get_prime()
{
    int m = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(low_prime[i] == 0)
        {
            primes[m++] = i;
            low_prime[i] = m;
        }
        for(int j = 0; j < m; j++)
        {
            int p = primes[j];
            if(i * p >= maxn) break;
            low_prime[i * p] = j + 1;
            if(i % p == 0) break;
        }
    }
    return m;
}
queue<int>q;
void find(int x){
while(x!=1){
    int pid = low_prime[x] - 1;
    x/=primes[pid];
    q.push(primes[pid]);
}
}

解题代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=100010;
bitset<10000>bt[200001];
const int N=100000;
int low_prime[maxn], primes[maxn];
int a[maxn];
bitset<10000> get_bs(int x)
{
    bitset<10000> res;
    res.reset();
    while(x != 1)
    {
        int pid = low_prime[x] - 1;
        x /= primes[pid];
        res[pid]=1;
    }
    return res;
}
void build(int l,int r,int idx){
    if(l==r){
        bt[idx]=get_bs(a[l]);
        //cout<<bt[idx].count()<<endl;
    }
    else{
        int mid=(l+r)>>1;
        build(l,mid,(idx<<1)|1);
        build(mid+1,r,(idx<<1)+2);
        bt[idx]=(bt[(idx<<1)|1]|bt[(idx<<1)+2]);
    }
}
void updata(int pos,int l,int r,int idx,int val){
    if(l==r){
        bt[idx]=get_bs(val);
    }
    else{
        int mid=(l+r)>>1;
        if(pos<=mid){
            updata(pos,l,mid,(idx<<1)|1,val);
        }
        else updata(pos,mid+1,r,(idx<<1)+2,val);
        bt[idx]=bt[(idx<<1)|1]|bt[(idx<<1)+2];
    }
}
bitset<10000> query(int x,int y,int l,int r,int idx){
        if(x<=l&&y>=r){
            return bt[idx];
        }
        else{
            int mid=(l+r)>>1;
            if(y<=mid){
                return query(x,y,l,mid,(idx<<1)|1);
            }
            else if(x>mid){
                return query(x,y,mid+1,r,(idx<<1)+2);
            }
            else {
                return query(x,y,l,mid,(idx<<1)|1)|query(x,y,mid+1,r,(idx<<1)+2);
            }
        }
}
void Prime()
{
    int m = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(low_prime[i] == 0)
        {
            primes[m++] = i;
            low_prime[i] = m;
        }
        for(int j = 0; j < m; j++)
        {
            int p = primes[j];
            if(i * p >= maxn) break;
            low_prime[i * p] = j + 1;
            if(i % p == 0) break;
        }
    }
}
int main(){
    int n,q;
    Prime();
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int pos,x,y;
        scanf("%d%d%d",&pos,&x,&y);
        if(pos==1){
            updata(x,1,n,1,y);
        }
        else{
            bitset<10000> t=query(x,y,1,n,1);
            printf("%d\\n",t.count());
        }
    }
}

也可用map对求出的质数进行离散化，然后在分解时只分解sqrt(n)以下的质数，然后分解结束后若该数不等于1，那它本身即为质数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=100010;
bitset<10000>bt[200001];
const int N=100000;
int prime[N+10];
bool visit[N+10];
map<int,int>mp;
int a[maxn];
void build(int l,int r,int idx){
    if(l==r){
        int f=a[l];
        for(int i=2;i*i<=a[l];i++){
            if(f%i!=0)continue;
            while(f%i==0){
                f=f/i;
            }
            bt[idx][mp[i]]=1;
        }
        if(f!=1){
            bt[idx][mp[f]]=1;
        }
    }
    else{
        int mid=(l+r)>>1;
        build(l,mid,(idx<<1)|1);
        build(mid+1,r,(idx<<1)+2);
        bt[idx]|=(bt[(idx<<1)|1]|bt[(idx<<1)+2]);
    }
}
void updata(int pos,int l,int r,int idx,int val){
    if(l==r){
        bt[idx].reset();
        int f=val;
        for(int i=2;i*i<=val;i++){
            if(f%i!=0)continue;
            while(f%i==0){
                f=f/i;
            }
            bt[idx][mp[i]]=1;
        }
        if(f!=1){
            bt[idx][mp[f]]=1;
        }
    }
    else{
        int mid=(l+r)>>1;
        if(pos<=mid){
            updata(pos,l,mid,(idx<<1)|1,val);
        }
        else updata(pos,mid+1,r,(idx<<1)+2,val);
        bt[idx]=(bt[(idx<<1)|1]|bt[(idx<<1)+2]);
    }
}
bitset<10000> query(int x,int y,int l,int r,int idx){
        if(x<=l&&y>=r){
            return bt[idx];
        }
        else{
            bitset<10000> f;
            int mid=(l+r)>>1;
            if(y<=mid){
                return query(x,y,l,mid,(idx<<1)|1);
            }
            else if(x>mid){
                return query(x,y,mid+1,r,(idx<<1)+2);
            }
            else {
                f|=query(x,y,l,mid,(idx<<1)|1);
                f|=query(x,y,mid+1,r,(idx<<1)+2);
            }
            return f;
        }
}
void Prime(){
    memset(visit,1,sizeof(visit));
    for (int i = 2;i <= N; i++) {
        if (visit[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;     
        }
        for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= N; j++) {
            visit[i*prime[j]]=false;
            if (i % prime[j]==0) {
                break;
            }
        }
    }
}
int main(){
    int n,q;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    Prime();
    for(int i=1;i<=prime[0];i++){
         mp[prime[i]]=i;
    }
    build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int pos,x,y;
        scanf("%d%d%d",&pos,&x,&y);
        if(pos==1){
            updata(x,1,n,1,y);
        }
        else{
            bitset<10000> t=query(x,y,1,n,1);
            printf("%d\\n",t.count());
        }
    }
}