人工智能数学基础--微分：定义运算以及应用

Posted 2021-08-04 LaoYuanPython

一、概念

1、定义

设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果函数的增量
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

可表示为：Δy=AΔx+o(Δx)

其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而AΔx叫
做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即：dy=AΔx 。

2、函数可微的充要条件
函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导，且当f(x)在点x0可微时，其微分：

dy=f’(x0)Δx

当f’(x0)≠0时，有：

从而，当Δx->0时，Δy与dy是等价无穷小，于是有：Δy=dy+o(dy)，即dy是Δy的主部。又由于：
在f’(x0)≠0的情况下，dy=f’(x0)Δx，是Δx的线性函数，所以dy是Δy的线性主部（Δx一>0时）。

注：如果α和β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，如果β=α+o(α)，则称α是β的主部。

在f’(x0)≠0的情况下，以微分dy=f’(x0)Δx近似替代增量Δy时，其误差为o(dy)，因此在Δx很小时，
Δy≈dy 。

3、函数的微分
定义：

函数y=f(x)在定义域内任一点x的微分，称为函数的微分，记作dy或df(x)。自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即：dx=Δx 。

函数的微分可以记作：
dy = f’(x)Δx = f’(x)dx 。

从上式可以得知，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于函数f(x)的导数，因此导数又叫微商。

二、微分的几何意义

在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形是一条曲线，对于某一固定的x0值，曲线上有一个确定点M(x0,y0)，当自变量x有微小增量Δx时，就得到曲线上另一点N(x0+Δx,Y0+Δy)。

从图2-11可知：过点M作曲线的切线 MT，它的倾角为α，则：
QP=MQ×tanα=Δxf’(x0)，即dy=QP。

由此可见，对于可微函数y=f(x)而言，当Δy是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当|Δx|很小时，|Δy-dy|比|Δx|小得多，因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一。这种思想方法在自然科学工程问题的研究中是经常采用的。

三、部分基本初等函数的微分公式

由于函数y=f(x)的微分为：dy=f’(x)dx，因此初等函数的微分可以根据其导数直接推导出来，下面是部分初等函数导数和微分的对照表：

四、微分运算公式

微分运算可以根据导数运算直接推导出来，下面是导数和微分运算公式的对照表：

五、复合函数的微分法则

与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：
设y=f(u)及u=g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的微分为：

dy=y’_xdx=f’(u)g’(x)dx

由于g’(x)dx=du，所以，复合函数y=f[g(x)]的微分公式也可以写成：

dy=f’(u)du或dy=y’_udu

由此可见，无论u是自变量还是中间变量，微分形式dy=f’(u)du保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时，微分形式dy=f’(u)du并不改变。

六、微分在近似计算和误差估计中的应用

1、近似计算

如果y=f（x）可导，在点x0处的导数f’(x0)≠0，由于：

Δy = AΔx+o(Δx) = f’(x0)Δx+o(Δx) ≈ f’(x0)Δx

因此可以表示为：

Δy = f(x0+Δx)-f(x0) ≈ f’(x0)Δx
f(x) ≈ f(x0) + f’(x0)(x-x0)

如果f(x)和f’(x0)都容易计算，则可以用上面的2个公式近似计算Δy或f(x) 。

利用上述公式，取x0=0，则可以推导得到如下常用公式(下面都假定|x|是较小的数值)：

• (1+x)^α ≈ 1 + αx (α 属于 R)
• sinx ≈ x (x用弧度作单位来表达)
• tanx ≈ x (x用弧度作单位来表达)
• e^x ≈ 1+x
• In(1+x) ≈ x

案例：

2、误差估计

在生产实践中，经常要测量各种数据。但是有的数据不易直接测量，这时可以通过测量其他有关数据后，根据某种公式算出所要的数据。

例如，要计算圆钢的截面积A，可先用卡尺测量圆钢截面的直径D，然后根据公式A=πD²/4
算出A。

由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。

下面讨论怎样利用微分来估计间接测量误差。先说明绝对误差、相对误差的概念。

如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|叫做a的绝对误差，而绝对误差与|a|的比值叫做a的相对误差。

在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得。但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内。

如果某个量的精确值是A，测得它的近似值是a，又知道它的误差不超过δ_A，即
|A-a|≤δ_A，那么δ_A，叫做测量A的绝对误差限，而δ_A与|a|的商叫做测量A 的相对误差限。

一般地，根据直接测量的x值按公式y=f(x)计算y值时，如果已知测量x的绝对误差限是δ_x，即：

|Δx| ≤ δ_x

那么，当y’≠0时，y的绝对误差：

|Δy| ≈ |dy| = |y’||Δx| ≤ |y’|δ_x

即y的绝对误差限约为：

δ_y = |y’|δ_x

y的相对误差限约为：

δ_y/|y| = |y’/y|δ_x

以后常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差。

案例：

七、小结

本文介绍了微分的定义、常用初等函数的微分、微分的运算以及微分在实际使用中的应用。

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