HDU 5976 Detachment

Posted 2021-08-03 jpphy0

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• 分拆方案
• • 分拆方案举例
  • 分拆方案总结
• 算法分析
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链接

• HDU 5976 Detachment - https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5976
• HDU 5976 Detachment - https://acm.dingbacode.com//showproblem.php?pid=5976

问题

将正整数 $n$ 分拆成若干不等的正整数 $a_i$，使得 $s={\prod }_{i=1}^r{a}_i$最大，求最大值对的$10^9+7$模

分拆方案

分拆方案举例

• 例1：$n=14$，分拆方案：
  • 2、3、4、5 共4项，$s=2\ast 3\ast 4\ast 5=120$
  • 3、5、6 共3项，$s=3\ast 5\ast 6=90$
  • $\cdots \cdots$
• 例2：$n=16$，分拆方案：
  • 2、3、5、6 共4项，$s=2\ast 3\ast 5\ast 6=180$
  • 2、3、4、7 共4项，$s=2\ast 3\ast 4\ast 7=168$
  • $\cdots \cdots$
• 例3：$n=18$，分拆方案：
  • 3、4、5、6 共4项，$s=3\ast 4\ast 5\ast 6=360$
  • 4、5、9 共3项，$s=4\ast 5\ast 9=180$
  • $\cdots \cdots$
• 例4：$n=19$，分拆方案：
  • 3、4、5、7 共4项，$s=2\ast 3\ast 4\ast 5=120$
  • 3、5、6 共3项，$s=3\ast 5\ast 6=90$
• 例5：$n=20$，分拆方案：
  • 2、3、4、5、6 共5项，$s=2\ast 3\ast 4\ast 5\ast 6=720$
  • $\cdots \cdots$

分拆方案总结

• 分拆方案不含1（贪心思想：1对积无贡献）
• 对于给定的n，可以得到不含1的最大的分拆数k及其（唯一）方案（贪心思想：每一项尽量小）
  $$\sum _{i=2}^{k+1}i\le n<\sum _{i=2}^{k+2}i或n=\sum _{i=2}^{k+1}i+r，0\le r\le k+1，即：$$
  $$n=\sum _{i=2}^{k+1}i+r=\{\begin{array}{l}\stackrel{k项}{\overbrace{2+3+\cdots +k+(k+1)}},\\ \stackrel{k-r}{\overbrace{2+\cdots +(k+1-r)}}\end{array}$$