2018CCPC-K - Mr. Panda and Kakin(欧拉定理&快速乘&CRT&EXGCD)

Posted 2021-08-03 Harris-H

2018CCPC-K - Mr. Panda and Kakin(欧拉定理&快速乘&CRT&EXGCD)

$a^b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)=c$

已知$n=pq,c,b=2^{30}+3$

利用RSA解密，找到$\sqrt{n}$附近的$p,q$。

利用欧拉定理可得：$a^b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)=a^{b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (n))}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)=a^{b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(p-1)(q-1))}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$

$c=a^{b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (n))}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$

两边同时乘$b$在$\phi (n)$下的逆元，则$c^{b^{-1}}=a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$

则$a=c^{b^{-1}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$

因为$b^{-1}$可用$exgcd$求解。

因为$c$很大，考虑用快速乘，注意这里不能用龟速乘，龟速乘会$T$掉。

快速乘就是转化为$LD$乘法，然后差自然溢出再取模。

code

// Problem: K - Mr. Panda and Kakin
// Contest: Virtual Judge - 2018 ccpc final [Cloned]
// URL: https://vjudge.net/contest/445564#problem/K
// Memory Limit: 262 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Date: 2021-07-05 19:37:05
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
void Print(int *a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 
}
int t;
ll n,c;
typedef long double LD;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b) x=1,y=0;
	else {
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
	}
}
ll qmul1(ll a,ll b,ll p){	//快速乘
	ll x=LD(a)/p*b;
	return ((a*b-x*p)%p+p)%p;
}
ll ksm(ll a,ll n,ll mod){
	ll s=1;
	while(n){
		if(n&1) s=qmul1(s,a,mod);
		a=qmul1(a,a,mod);
		n>>=1;
	}
	return s;
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	int kase=0; 
	while(t--){
		scanf("%lld%lld",&n,&c);
		ll p,q;
		for(ll i=(ll)sqrt(n);i;i--)
			if(n%i==0){
				p=i,q=n/i;break;
			}
		ll d=(p-1)*(q-1);
		ll a=(1LL<<30)+3,x,y;
		exgcd(a,d,x,y);
		x=(x%d+d)%d;
		printf("Case %d: %lld\\n",++kase,ksm(c,x,n));
	}
	return 0;
}

方法2：中国剩余定理$CRT$求解$a=c^{b^{-1}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ //扩展欧几里得
	if(a==0&&b==0) return -1;
	if(b==0){
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return gcd;
}
int solve(int a,int b,int c){ //求逆元
	int x,y;
	int gcd=exgcd(a,b,x,y);
	if(c%gcd!=0) return -1;
	return (x%b+b)%b;
}
int fpow(int a,int b,int mod){ //快速幂
	int ans=1;a%=mod;
	while(b){
		if(b&1) (ans*=a)%=mod;
		(a*=a)%=mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int fmul(int a,int b,int mod){ //快速乘
	int ans=0;a%=mod;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int crt(int ai[], int mi[], int len) { //中国剩余定理
    int ans = 0, lcm = 1;
    for (int i = 0; i < len; i++) lcm *= mi[i];
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        int Mi = lcm / mi[i];
        int inv = fpow(Mi, mi[i] - 2, mi[i]);
        int x = fmul(fmul(inv, Mi, lcm), ai[i], lcm); //若lcm大于1e9需要用快速乘fmul
        ans = (ans + x) % lcm;
    }
    return ans;
}
int mi[5],ai[5];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int T,ca=0;cin>>T;
	while(T--){
		cout<<"Case "<<++ca<<": ";
		int n,c,p,q;cin>>n>>c;
		for(int i=sqrt(n);i>=0;i--) if(n%i==0){
			p=i;q=n/i;
			break;
		}
		int d=solve((1LL<<30)+3,(p-1)*(q-1),1);
		if(d==-1){
			cout<<"-1"<<endl;
			continue;
		}
		ai[0]=fpow(c,d,p);ai[1]=fpow(c,d,q);
		mi[0]=p;mi[1]=q;
		cout<<crt(ai,mi,2)<<endl;
	}
	return 0;
}

貌似常数较大，复杂度没有上面的方法优秀。