欧拉函数的性质证明(补充)
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了欧拉函数的性质证明(补充)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
欧拉函数的性质证明(补充)
本文只证明
φ ( n ) = n ∏ i = 1 k ( 1 − 1 p i ) \\varphi(n)=n\\prod\\limits_{i=1}^k(1-\\dfrac{1}{p_i}) φ(n)=ni=1∏k(1−pi1)
证明需要的东西：
- 积性函数的性质
- 算术基本定理
- φ ( p k ) = p k − p k − 1 = p k − 1 ( p − 1 ) \\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1) φ(pk)=pk−pk−1=pk−1(p−1)
关于第三个前置知识的证明：
证明
φ ( n ) = ∏ i = 1 k φ ( p i a i ) \\large\\varphi(n)=\\prod\\limits_{i=1}^k \\varphi(p_{i}^{a_i}) φ(n)=i=1∏kφ(piai) 算术基本定理+积性函数性质
φ ( n ) = ∏ i = 1 k ( p i a i − 1 ( p i − 1 ) ) = ∏ i = 1 k ( p i a i ( 1 − 1 p i ) ) \\varphi(n)=\\prod\\limits_{i=1}^k(p_i^{a_i-1}(p_i-1))=\\prod\\limits_{i=1}^k(p_i^{a_i}(1-\\dfrac{1}{p_i})) φ(n)=i=1∏k(piai−1(pi−1))=i=1∏k(piai(1−pi1))
= ∏ i = 1 k p i a i ∏ i = 1 k ( 1 − 1 p i ) =\\prod\\limits_{i=1}^kp_i^{a_i}\\prod\\limits_{i=1}^k(1-\\dfrac{1}{p_i}) =i=1∏kpiaii=1∏k(1−pi1)
= n ∏ i = 1 k ( 1 − 1 p i ) =n\\prod\\limits_{i=1}^k(1-\\dfrac{1}{p_i}) =ni=1∏k(1−pi1)
证毕。
具体其他的一些性质见我的其他文章：
以上是关于欧拉函数的性质证明(补充)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章