图的遍历(DFS，BFS，Topology Sort)

Posted 2021-08-02 清水寺扫地僧

文章目录

• • 1. 图的存储结构
  • 2. 图的遍历
  • • 2.1 图的DFS遍历
    • 2.2 图的BFS遍历
  • 3. 图的拓扑排序(Topology Sort)

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1. 图的存储结构

• 对于稠密图，使用邻接矩阵进行存储和表示。邻接矩阵即二维数组，数组中的每个元素分别表示一有向边的边权值，在实际使用时，我们在初始化时先按照字节设置为无穷大$\infty$，实际使用memset()函数字节填充0x3f，为何使用该值见：编程中将无穷大常量的设定为0x3f3f3f3f。常用模板为：

#include <cstring> //为了使用memset()函数
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int g[N][N];

...

int main() {
	memset(g, 0x3f, sizeof(g));
	...
}

• 对于稀疏图，使用邻接链表。若是使用邻接矩阵的话会造成较大的空间浪费，这里对于邻接链表的构造，使用数组多链表的形式进行，也即将每个点与其所邻接的点构建一个链表，所有的点的链表组合起来就可以表示一个图。对于邻接链表，含有h[N](存储头节点下标索引(即对于idx)，初始化将所有头节点索引设置为$-1$)，e[N](从 $h[t]$ 进行遍历，则$e[i]$ 存储节点索引为 $i$ 的节点的实际值,在实际使用中int j = e[i];取出节点 $t$ 的邻接点)，ne[N](存储链表中的下一节点，在遍历中i = ne[i]作为迭代方式)，idx(记录数组中当前已用了多少索引值)四个要素，若是还要记录节点t和i之间的距离，则还需w[N]($w[i]$ 表示由某个节点 $t$ 的 $h[t]$ 遍历过来到节点 $e[i]$，即由节点 $e[i]$ 到节点 $t$ 的边权值)；同时最主要的操作是add(int a, int b, int c)，表示的是增加一条由节点 $a$ 指向节点 $b$ 的边权值为 $c$ 的边。常用模板为：

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int h[N], e[N], ne[N], idx, w[N];

void add(int a, int b, int c) {
	e[idx] = b; //记录节点a有指向b的有向边
	ne[idx] = h[a]; //使用头插法将节点b插入到a的邻接链表当中，
	//将新的链表节点的next指针指向h[a]
	w[idx] = c; //记录节点a到节点b的距离/边权值
	h[a] = idx++; //更新节点a的邻接链表的头节点，同时完成了添加操作后idx须自加
}

...

int main() {
	memset(h, -1, sizeof(h));
	...
}

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2. 图的遍历

2.1 图的DFS遍历

DFS是一个执著的人，每次搜索若不搜索到叶子节点，即遇到了死胡同绝不返回到上一步(也即是回溯)。对于DFS，我们知道一般使用的是栈这一数据结构，程序设计当中的递归就是使用递归栈来实现的，所以自然而言的我们想到使用递归方式进行图的DFS深度优先搜索遍历。同时为了记录图中的节点是否已经遍历过，所以我们需要增添一个bool st[N]数组对遍历情况加以记录。

DFS遍历的代码实现如下：

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 100010;
int h[N], e[N], ne[N], idx; //数组含义见邻接链表的图表示方法
bool st[N]; //记录节点是否遍历过

void add(int a, int b) {
	e[idx] = b; ne[idx] = h[a]; h[a] = idx++;
}

void dfs(int u) {
	//将当前节点u标记为已经遍历过，然后对其子节点进行dfs遍历
	st[u] = true;
	//对节点u的的所有邻接点分别做dfs遍历
	for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { 
		int j = e[i]; //取出与u节点相邻的节点j
		if(!st[j]) { //若是未遍历过，则进行dfs遍历
			dfs(j);
			printf("%d ", j);	
		}
	}
}

int main() {
	memset(h, -1, sizeof(h)); //初始化邻接链表的头节点们
	...
}

相关例题见：AcWing 846. 树的重心 (对于树的重心，可在DFS的搜索的过程中记录以遍历节点为根的树所含节点个数$sum$，同时可记录去掉该点后每个连通块中点的个数的最大值 r e s = m a x { d f s ( 1 ) , d f s ( 2 ) , . . . } res=max\\{dfs(1),dfs(2),...\\} res=max{dfs(1),dfs(2),...}，再与$n-sum$比较，$res$取两者中的最大值，最终结果取所有得到的$res$当中的最小值即可)。

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2.2 图的BFS遍历

BFS，即广度优先遍历，首先先和自己邻近的人打招呼，其次再和有一个中间人的人打招呼，以此类推，就像剥洋葱一样，只不过这次是从洋葱芯自内向外罢了。对于BFS常用的实现辅助数据结构为队列(queue)，在遍历时，将头遍历节点从队列中取出并出队，再将头遍历节点的所有邻接点加入到队列当中去，如此进行循环，直到队列的队头和队尾的索引值相等/队列为空为止，即可实现图的BFS遍历。

BFS遍历的实现代码如下：

//这里不使用stl当中的queue容器实现，而是使用一个数组模拟队列的行为
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100010;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int q[N], hh, tt; //hh表示队列的头节点索引，tt表示队尾节点索引
bool st[N]; //记录节点是否遍历过

void add(int a, int b) {
	e[idx] = b; ne[idx] = h[a]; h[a] = idx++;
}

void bfs(int u) {
	st[u] = true;
	q[hh] = u;
	
	while(hh <= tt) { //hh<=tt判断队列不为空
		int t = q[hh++]; //将队头节点出队，并将队头索引值自增1
		
		//对队头节点的所有邻接点进行遍历
		for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { 
			int j = e[i]; //取出队头邻接点的实际值，即节点j
			if(!st[j]) { //若是节点j尚未遍历过，则将其加入队列
				q[++tt] = j; //将节点j加入队列
				printf("%d ", j);
			}	
		}
	}		
}

int main() {
	memset(h, -1, sizeof(h));
	...
}

正是这个实现的过程，所以可以料想到，若是当图中的边的边权值都为相同的正值时，则根据BFS遍历的层次可以求得所遍历的点到出发点的最短距离。相关例题见：AcWing 844. 走迷宫(本人使用稠密图的表示方式实现的BFS遍历过程)。

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3. 图的拓扑排序(Topology Sort)

若一个由图中所有点构成的序列 $A$ 满足：对于图中的每条边 $(x,y)$，$x$ 在 $A$ 中都出现在 $y$ 之前，则称 $A$ 是该图的一个拓扑序列。可以理解为图中不含有环形链表。

对于图的拓扑排序，是有向无环图(DAG)的特有性质，即若一个图是有向无环图，则其必存在一拓扑排序，使得序列前面的点只有向后的出边而无来自后边点的入度。同时另一性质为，若图是有向无环图，则图中一定存在入度为0的节点。

例题见：848. 有向图的拓扑序列。求一个图的拓扑排序的方式为，在构造图的过程中，记录每个节点的入度。在求解时，首先遍历所有的图中节点，找出所有入度为$0$的节点，将它们塞入队列当中，依次取出队头节点，将该节点的所有出边所指向的节点的入度减少(即删边操作)，若是所指节点的入度变为$0$，则将所指节点加入队列中。重复以上操作，直至队列为空，若是队列数组所用的索引数等于图中节点数，则说明有拓扑排序序列，且队列数组中所存储的序列即为拓扑序列之一，否则没有拓扑排序序列。使用的遍历方法为BFS遍历。

求解拓扑排序的代码实现如下：

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 
 using namespace std;
 
 const int N = 100010, M = N * 2;
 int n, m;
 int h[N], e[M], ne[M], idx;
 int d[N];
 int q[N], tt, hh;
 
 void add(int a, int b) {
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
 }
 
 bool topologySort() {
 	//对图中的节点进行遍历，找出入度为0的点加入到队列当中
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        if(!d[i]) q[tt++] = i; 
        
    while(hh <= tt) { //若队列不为空
        int t = q[hh++]; //取出队头元素，并将队头弹出
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { //遍历队头节点的邻接点
            int j = e[i];
            d[j]--; //删减相应所指向点的入度
            if(!d[j]) q[tt++] = j; //若是入度为0，则加入到队列当中
        }
    }
    return tt == n; //若是曾存在于队列中的节点数等于图的节点数，则有拓扑排序序列
 }
 
 int main() {
    memset(h, -1, sizeof(h));
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 0; i < m; ++i) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        d[b]++; //记录节点b的入度
        add(a, b); //添加a->b的有向边
    }
    
    if(topologySort())
        for(int i = 0; i < n; ++i) 
            cout << q[i] << " ";
    else puts("-1");
     
    return 0;
 }