Floyd算法：多源汇最短路

Posted 2021-08-02 清水寺扫地僧

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yxc的图最短路问题算法图镇楼：

单源最短路所有边权为正：Dijkstra：正边权单源最短路算法；
单源最短路存在负权边：Bellman_Ford和SPFA：带负边权的单源最短路算法；
多源汇最短路：Floyd算法：多源汇最短路；

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Floyd算法

Floyd 属于多源最短路径算法，能够求出任意2个顶点之间的最短路径，支持负权边。

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算法原理：
(1) 从任意顶点 i 到任意顶点 j 的最短路径不外乎两种可能
  ① 直接从 i 到 j；
  ② 从 i 经过若干个顶点到 j；
(2) 假设 dist(i，j) 为顶点 i 到顶点 j 的最短路径的距离
(3) 对于每一个顶点 k，检查 dist(i，k) + dist(k，j)＜dist(i，j) 是否成立。如果成立，证明从 i 到 k 再到 j 的路径比 i 直接到 j 的路径短，设置 dist(i，j) = dist(i，k) + dist(k，j)。当我们遍历完所有结点 k，dist(i，j) 中记录的便是 i 到 j 的最短路径的距离。

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需要注意的是：

• f[i, j, k]表示从i走到j的路径上除i和j点外只经过1到k的点的所有路径的最短距离。那么f[i, j, k] = min(f[i, j, k - 1), f[i, k, k - 1] + f[k, j, k - 1]。
  因此在计算第k层的f[i, j]的时候必须先将第k - 1层的所有状态计算出来，所以需要把k放在最外层。
• 读入邻接矩阵，将次通过动态规划装换成从i到j的最短距离矩阵。
• 在下面代码中，判断从a到b是否是无穷大距离时，需要进行if(t > INF/2)判断，而并非是if(t == INF)判断，原因是INF是一个确定的值，并非真正的无穷大，会随着其他数值而受到影响，t大于某个与INF相同数量级的数即可。
• 由于有三个 for 循环，效率比执行n次 Dijkstra 算法要好，所以易得 Floyd算法的时间复杂度为$O(n^3)$；

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题目：854. Floyd求最短路
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。再给定 $k$ 个询问，每个询问包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示查询从点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。数据保证图中不存在负权回路。

输入格式
第一行包含三个整数 $n,m,k$。
接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$。
接下来 $k$ 行，每行包含两个整数 $x,y$，表示询问点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离。

输出格式
共 $k$ 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围
$1\le n\le 200,$
$1\le k\le n2$
$1\le m\le 20000,$
图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$。

输入样例：

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例：

impossible
1

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题目代码实现如下：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 205;
int d[N][N];
int n, m, k;

void floyd() {
    for(int k = 1; k <= n; ++k) 
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            for(int j = 1; j <= n; ++j) 
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        d[i][i] = 0;
    
    for(int i = 0; i < m; ++i) {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        d[a][b] = min(d[a][b], w);
    }
    
    floyd();
    
    while(k--) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if(d[x][y] > 0x3f3f3f3f >> 1) puts("impossible");
        else printf("%d\\n", d[x][y]);
    }
    
    return 0;
}