NOIP 2000 方格取数 dp

Posted 2021-08-01 行码棋

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题意：
有n*n的方格，有些格子上有数，有些格子上没有数（可以认为是0），现从(1,1)走到（n,n）走两次，走过之后，上面的数就会变为0，问两次走的路径取得的数字之和最大为多少？

思路：
状态表示：
$dp[i1][i2][k]$表示从(1,1)开始两条路径分别走到$(i1,k-i1),(i2,k-i2)$取得的数字的最大值。

其实$k=i1+j1=i2+j2$,我们让两个路径的横纵坐标加和相同，可以理解为步长（但不是步长），步长相同刚好能枚举在同一时刻的状态，因为他们走的步数一样嘛。
有步长了，就可以根据横坐标推出纵坐标了。所以就很巧妙

当前状态可由四种情况来转移：

上一个状态都是步长减一，表示的是两条路径步长都减去一，两条路径是同时进行的。

• $dp[i1-1][i1-1][k-1]$表示两条路径都是从当前点的上方转移而来的，当前点指的是两条路径分别对应的当前点，不一定一样
• $dp[i1-1][i2][k-1]$表示第一条路径从当前点（第一条路径的当前点）的上方转移而来的，第二条路径从当前点（第二条路径的当前点）的左边转移而来
• $dp[i1][i2-1][k-1]$表示第一条路径从当前点（第一条路径的当前点）的左边转移而来的，第二条路径从当前点（第二条路径的当前点）的上方转移而来
• $dp[i1][i2][k-1]$表示两条路径都是从当前点的左边转移而来的，当前点指的是两条路径分别对应的当前点，不一定一样

状态来自这四种情况

所以只要取他们的最大值就行了

注意：
都是从上方或者左边转移的，他们不一定来自同一个点，所以只有$i1=i2$时，他们才来自同一个点，这时候，取的数就会只有一个，因为一条路径取过之后方格上的数就会变为0

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[15][15],dp[15][15][30];

int main()
{
    int n;cin>>n;
    int x,y,num;
    //都为0时才结束
    while(cin>>x>>y>>num,x||y||num)
        a[x][y]=num;
    for(int k=2;k<=n+n;k++)//k=i1+j1=i2+j2
    {
        for(int i1=1;i1<=n;i1++)
        {
            for(int i2=1;i2<=n;i2++)
            {
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n)//纵坐标必须满足条件
                {
                    int w = a[i1][j1];
                    if(i1!=i2) w+=a[i2][j2];//不是同一个点就加两个方格对应的数
                    int &q = dp[i1][i2][k];//太长了，用引用减少代码量
                    q=max(q,dp[i1-1][i2-1][k-1]+w);
                    q=max(q,dp[i1-1][i2][k-1]+w);
                    q=max(q,dp[i1][i2-1][k-1]+w);
                    q=max(q,dp[i1][i2][k-1]+w);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][n][n+n]<<'\\n';
    return 0;
}