LeetCode119. 杨辉三角 II

Posted 2021-08-01 ZSYL

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• 题目描述
• 算法分析
• 代码实现
• • 递推
  • 线性递推

题目描述

给定一个非负索引 k，其中 k ≤ 33，返回杨辉三角的第 k 行。

在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例:

输入: 3
输出: [1,3,3,1]

算法分析

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
-------百度百科

代码实现

递推

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。它是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

杨辉三角具有以下性质：

依据性质 4，我们可以一行一行地计算杨辉三角。每当我们计算出第 i 行的值，我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1 行的值。

class Solution {
    public List<Integer> getRow(int rowIndex) {
        List<List<Integer>> C = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i <= rowIndex; ++i) {
            List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    row.add(1);
                } else {
                    row.add(C.get(i - 1).get(j - 1) + C.get(i - 1).get(j));
                }
            }
            C.add(row);
        }
        return C.get(rowIndex);
    }
}

优化

注意到对第 i+1 行的计算仅用到了第 i 行的数据，因此可以使用滚动数组的思想优化空间复杂度。

class Solution {
    public List<Integer> getRow(int rowIndex) {
        List<Integer> pre = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = 0; i <= rowIndex; ++i) {
            List<Integer> cur = new ArrayList<Integer>();
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    cur.add(1);
                } else {
                    cur.add(pre.get(j - 1) + pre.get(j));
                }
            }
            pre = cur;
        }
        return pre;
    }
}

进一步优化

能否只用一个数组呢？

class Solution {
    public List<Integer> getRow(int rowIndex) {
        List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();
        row.add(1);
        for (int i = 1; i <= rowIndex; ++i) {
            row.add(0);
            for (int j = i; j > 0; --j) {
                row.set(j, row.get(j) + row.get(j - 1));
            }
        }
        return row;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(rowIndex^2)
• 空间复杂度：O(1)。不考虑返回值的空间占用。

线性递推

class Solution {
    public List<Integer> getRow(int rowIndex) {
        List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();
        row.add(1);
        for (int i = 1; i <= rowIndex; ++i) {
            row.add((int) ((long) row.get(i - 1) * (rowIndex - i + 1) / i));
        }
        return row;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(rowIndex)。
• 空间复杂度：O(1)。不考虑返回值的空间占用。

仅供学习参考，感谢 LeetCode.

加油!