LeetCode322. 零钱兑换

Posted 2021-08-01 ZSYL

动态规划

• 题目描述
• 记忆化搜索
• 动态规划

题目描述

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

记忆化搜索

我们注意到这个问题有一个最优的子结构性质，这是解决动态规划问题的关键。最优解可以从其子问题的最优解构造出来。如何将问题分解成子问题？假设我们知道 F(S)，即组成金额 S 最少的硬币数，最后一枚硬币的面值是 C。那么由于问题的最优子结构，转移方程应为：F(S)=F(S−C)+1

在上面的递归树中，我们可以看到许多子问题被多次计算。例如， F(1) 被计算了 13 次。为了避免重复的计算，我们将每个子问题的答案存在一个数组中进行记忆化，如果下次还要计算这个问题的值直接从数组中取出返回即可，这样能保证每个子问题最多只被计算一次。

public class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if (amount < 1) {
            return 0;
        }
        return coinChange(coins, amount, new int[amount]);
    }

    private int coinChange(int[] coins, int rem, int[] count) {
        if (rem < 0) {
            return -1;
        }
        if (rem == 0) {
            return 0;
        }
        if (count[rem - 1] != 0) {
            return count[rem - 1];
        }
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        // 每一个结点的递归树构造
        for (int coin : coins) {
        	// 深度搜索每一个分支，找到最佳分支
            int res = coinChange(coins, rem - coin, count);
            // 修改最佳选择
            if (res >= 0 && res < min) {
                min = 1 + res;
            }
        }
        // 更新值
        count[rem - 1] = (min == Integer.MAX_VALUE) ? -1 : min;
        return count[rem - 1];
    }
}

动态规划

public class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = amount + 1;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Arrays.fill(dp, max);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
            	// 如果当前硬币小于等于amount，就减去
                if (coins[j] <= i) {
                	// 更新最优解
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(Sn).
• 空间复杂度：O(S)。数组dp需要开长度为为总金额S的空间.