数学建模暑期集训1：模糊数学基础

Posted 2021-08-01 Z|Star

在数学建模中，有一种评价类的方法叫做模糊综合评价法。本篇内容就主要记录一些模糊数学的基础，下篇内容将具体记录这种方法。由于模糊数学是研究生课程内容，文中自己的主观理解可能会有偏差，如有错误，可请指出。

文章目录

• 1.模糊概念
• • 1.1秃头悖论
  • 1.2模糊概念
• 2.经典集合与特征函数
• 3.模糊集合与隶属函数
• 4.经典集合与模糊集合的关系
• 5.模糊集合的分类
• 6.模糊集合的运算
• 7.$\lambda$-截集
• 8.普通关系与二元关系
• 9.模糊关系的合成
• 10.模糊等价关系
• 11.经典等价关系
• 12.模糊相似关系
• 13.模糊聚类
• 14.数据标准化
• 15.模糊相似矩阵建立方法

1.模糊概念

1.1秃头悖论

什么是秃头？
掉一根头发，不是秃头；
再掉一根头发，不是秃头；
…
掉最后一根头发，也不是秃头；
这种反常识的推论就是秃头悖论。

1.2模糊概念

和秃头一样，许多概念没有被精确量化，比如，掉多少头发算秃头。
同样，成绩好、年轻、肥胖也均是模糊概念。

2.经典集合与特征函数

经典集合特点：确定性、互斥性

3.模糊集合与隶属函数

模糊集合特点：非此即彼

隶属度：属于[0,1]区间，越大表示越属于这种集合。

隶属集合三种表示方法：

注：这里的除号和加号不具有计算意义，仅是用作标记。

4.经典集合与模糊集合的关系

当A(x) = 0.5时，点x最具模糊性；
映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形。

5.模糊集合的分类

6.模糊集合的运算

7.$\lambda$-截集

8.普通关系与二元关系

9.模糊关系的合成

注：模糊矩阵相乘遵循一般矩阵相乘的规则，原本的乘法变取小，原本的加法变取大。
看个例子：

10.模糊等价关系

11.经典等价关系

模糊等价关系是经典等价关系的推广

两者联系：R是模糊等价关系当且经当R的任意$\lambda$-截集都是经典等价关系。

12.模糊相似关系

模糊相似关系未必是模糊等价关系

13.模糊聚类

1、得到模糊相似关系
2、由模糊相似关系出发得到模糊等价关系
3、由模糊等价关系的$\lambda$-截集得到等价关系，从而分类

14.数据标准化

15.模糊相似矩阵建立方法

实际上，模糊综合评价方法并非上述那么多的知识，主要掌握隶属函数的意义即可。