人工智能数学基础--导数3:隐函数求导对数求导法参数方程求导法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了人工智能数学基础--导数3:隐函数求导对数求导法参数方程求导法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、隐函数概念

用y=f(x)这种方式定义的函数叫显函数,而隐函数是指没有使用这种方式定义,而是用类似F(x,y)=0这种方程方式来定义x和y关系的方式。

一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下,当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。

把一隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化。例如从方程x+y-1=0解出y=1-x,就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的,甚至是不可能的,但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此我们希望有一种方法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。

二、隐函数求导

隐函数实际上是一个方程,对于方程F(x,y)=0,可以对该方程两边对x求导,求导的结果还是一个方程。但求导中要注意,该方程隐含了y=f(x),因此y不能看做常数处理。例如,针对方程:
xy=0
两边对x求导,可以得到的方程是:(xy)’=x’y+y’x=y+xy’=0
这样就能得到一个关于x、y、y’的方程,如果能将y’用x和y的方式表达出来,就得到了隐函数y的导数公式,当点(x0,y0)的坐标值确定时,在该点的导数值就能确定。

为了清楚说明,下面贴一个书中的例子:
在这里插入图片描述

三、对数求导法求导

求函数y=f(x)的导数在某些情况下,将函数两边先同时进行取对数运算再求导有助于化复杂为简单。老猿认为这是应为对数可以把指数或求根运算转换为乘积运算,可以把乘积运算转换为加减运算,实现了运算的降维。

指数运算转换为乘积运算的案例请见《y=x^sinx(y=x的sinx次方)为什么不能用复合函数直接求导数?》。

乘积、方根运算转换请见书中如下案例:
在这里插入图片描述

四、参数方程求导法

前面第二部分介绍的隐函数是对F(x,y)=0的方程求导,但有时x和y不是建立直接关系,而是各自与第三个参数建立方程关系,此时的方程就是参数方程。

一般地,方程组:
x=g(t)
y=h(t)
确定了y与x之间的函数关系,上述方程组就是参数方程,由该参数方程确定的y与x的关系函数y=f(x)就称为参数方程确定的函数。

针对参数方程确定的函数y=f(x)求导,由于二者之间都是通过t关联,要将其表达为y=f(x)方式需要去除参数t,但有些情况t不容易去掉,这时可能可以通过参数方程计算出y=f(x)的导数。

上述参数方程所确定的y关于x的函数的求导公式如下:
在这里插入图片描述
如果h(t)、g(t)是二阶可导的,那么从上述一阶导数可以得到函数对应的二阶导求导公式如下:
在这里插入图片描述

参数方程求导的一个应用案例

在这里插入图片描述

五、小结

本文介绍了利用隐函数、对数、以及参数方程求导的概念和方法。

更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。

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以上是关于人工智能数学基础--导数3:隐函数求导对数求导法参数方程求导法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

2.5 函数的微分

知识总结7

人工智能数学基础---不定积分3:分部积分法

帮我发一张函数的求导公式和特殊函数的求导公式,谢谢!

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