集合论：无穷集合及其基数
Posted 临风而眠
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了集合论：无穷集合及其基数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
集合论(4): 无穷集合及其基数
一.可数集
1.定义
①无限集
凡能与自身的一个真子集对等的集合称为无穷集合, , 或无限集合
②可数集
如果从自然数集合N 到集合X 存在一个一 一对应 f: N →X, 则称集合X 是无穷可数集合, 简称可数集或可列集
如果X不是可数集且X不是有限集, 则称X为不可数无限集, 可简称为不可数集
可数集与不可数集是对无穷集合而言的,有限集既不称作不可数集也不称作可数集
2.性质
①可数集充要条件
集合A为可数集的充分必要条件是A 的全部元素可以排成无重复项的序列 a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . a_1, a_2 , ...,a_n , ... a1,a2,...,an,...
必要性：如果A为可数集，则A 与自然数集之间存在一一对应，按对应的次序:A可写成A= { a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . } \\{a_1,a_2,...,a_n,...\\} {a1,a2,...,an,...}
充分性：如果A可写成A= { a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . } \\{a_1,a_2,...,a_n,...\\} {a1,a2,...,an,...},则A 与自然数集合间可可建立一一对应关系: φ : N → A , φ ( n ) = a n \\varphi:N\\rightarrow A,\\varphi(n)=a_n φ:N→A,φ(n)=an
②定理 ：无限集A必包含可数子集
③定理： 可数集的任一无限子集也是可数集
推论
从可数集A中除去一个有限集M,则A\\M仍是可数集
④定理（可数集并有限集）
设A是可数集,M 是有限集, 则A∪M是可数集
⑤定理（有限个可数集的并）
设 A 1 , A 2 , . . . , A n ( n ≥ 1 ) A_1,A_2 ,...,A_n (n≥1) A1,A2,...,An(n≥1) 都是可数集, 则它们的并集也是可数集
⑤定理（可数个有限集之并）
可数个有限集之并至多是可数集，即若 A 1 , A 2 , . . . , A n , . . . A_1,A_2,...,A_n,... A1,A2,...,An,...是有限集的可数序列,则 ∪ n = 1 ∞ A n \\mathop\\cup\\limits_{n=1}^{\\infty}A_n n=1∪∞An或为有限集, 或为可数集
⑥定理（可数个可数集之并）
设 A 1 , A 2 , . . . , A n , . . . A_1,A_2 ,...,A_n,... A1,A2,...,An,... 为可数集合的一个无穷序列,则 ∪ n = 1 ∞ A n \\mathop\\cup\\limits_{n=1}^{\\infty}A_n n=1∪∞An是可数集，即可数个可数集之并是可数集
⑦定理 （有理数集）
全体有理数之集Q 是可数集
推论： 区间[0,1] 中的一切有理数之集是可数集
⑧定理 （无限集并）
设M是一个无限集, A是有限或可数集, 则M~M ∪A
(与自己的真子集存在一一对应是无穷集合独有的特点，有限集合没有这样的性质)
推论 从可数集A中除去一个有限集M,则A\\M 仍是可数集
⑨定理（无穷集减至多可数集）
设M是一个无穷不可数集，A为M的至多可数子集( 即A有穷或可数), 则M~M\\A
⑩定理（有限个可数集的笛卡尔积）
设 A 1 , A 2 , . . . , A n ( n ≥ 2 ) A_1,A_2 ,...,A_n(n\\geq 2) A1,A2,...,An(n≥2) 都为可数集，则 A 1 × A 2 × . . . × A n A_1\\times A_2\\times...\\times A_n A1×A2×...×An是可数集
·推论
整系数代数多项式的全体是一个可数集
（定义： 整系数代数多项式的根称为代数数,非代数数称为超越数）
定理 代数数的全体是可数集
二.连续统集合
1.连续统集的定义
定理
区间[0, 1] 中的所有实数构成的集合是不可数无穷集合
连续统集定义
凡与集合[0,1] 对等的集合称为具有“连续统的势”的集合, 或简称
连续统
- [0,1]~(a,b] (a, b] 是一个连续统
- [0,1]~[a,b) [a, b) 是一个连续统
- (a,b)~[0,1] (a, b) 是一个连续统
2.连续统集性质
①定理（有限个连续统的并）
设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2 ,...,A_n A1,A2,...,An是n个两两不相交的连续统 , ∪ i = 1 n A i \\mathop\\cup\\limits_{i=1}^{n}A_i i=1∪nAi是连续统， ∪ i = 1 n A i \\mathop\\cup\\limits_{i=1}^{n}A_i i=1∪nAi~[0,1]
②定理（可数个连续统的并）
设
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
,
.
.
.
A_1,A_2 ,...,A_n,...
A1,A2,...,An,...是两两不相交的集序列 , 若
A
k
∼
[
0
,
1
]
，
k
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
A_k\\sim[0,1]，k=1,2,3,...,
Ak∼[0,1]，k=1,2,3,...,，则
∪
i
=
1
n
A
i
\\mathop\\cup\\limits_{i=1}^{n}A_i
i=1∪nAi~[0,1]
- 推论：全体实数之集是一个连续统。
- 推论：无理数之集是一个连续统。
- 推论：超越数之集是一个连续统。
③定理（无穷01系列）
令B为所有0、1 的无穷序列所构成的集合，则B ∼ \\sim ∼[0,1]
④定理
令 S = { f ∣ f : N → { 0 , 1 } } S=\\{f|f:N\\rightarrow\\{0,1\\}\\} S={f∣f:N→{0,1}}, 则
(1)S ∼ \\sim ∼[0,1]
(2)若A为可数集，则 2 A ∼ [ 0 , 1 ] 2^A\\sim [0,1] 2A∼[0,1]
⑤定理（连续统笛卡尔积）
设 A 1 , A 2 A _ 1,A_2 A1,A2均为连续统，则 A 1 × A 2 ∼ [ 0 , 1 ] A_1\\times A_2 \\sim[0,1] A1×A2∼[0,1]
- 推论：平面上所有点的集合是一个连续统
- 推论： 若
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
A_1,A_2,...,A_n
A1,Aredis数据结构之无序集合（set）有序集合(zset)基数(HyperLogLog)
redis数据结构之无序集合（set）有序集合(zset)基数(HyperLogLog)