反赌科普宣传——赌徒的谬误
Posted 陆嵩
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了反赌科普宣传——赌徒的谬误相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
反赌科普宣传——赌徒的谬误
在赌博中，有一种“荷兰赌式”的“倍赌”策略，即输了加赌注加倍，直到赢了为止。似乎在所有人看来，只要本金足够，似乎此法无往而不利。那么这种做法可不可取？背后潜藏的玄机又在哪呢？我们从一个简单的游戏说起。
所用的概率论知识，一个正常上过大学的理工科的人都应该会懂。
游戏简单介绍
在我们的家乡广泛流行着一个“机会游戏”，叫做“六合彩”，其游戏规则如下：人的年龄（虚岁）对应着十二生肖，比如今年（2021 年）的年龄的生肖从属关系如下：
猪
狗
鸡
猴
羊
马
蛇
龙
兔
虎
牛
鼠
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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28
29
30
31
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33
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35
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38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
\\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \\hline \\text { 猪 } & \\text { 狗 } & \\text { 鸡 } & \\text { 猴 } & \\text { 羊 } & \\text { 马 } & \\text { 蛇 } & \\text { 龙 } & \\text { 兔 } & \\text { 虎 } & \\text { 牛 } & \\text { 鼠 } \\\\ \\hline & & & & & & & & & & 1 & 2\\\\ \\hline 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14\\\\ \\hline 15& 16 & 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25& 26\\\\ \\hline 27& 28& 29& 30& 31& 32& 33& 34& 35& 36& 37& 38\\\\ \\hline 39& 40& 41& 42& 43& 44&45 & 46&47 & 48&49 & \\\\ \\hline \\end{array}
猪 3152739 狗 4162840 鸡 5172941 猴 6183042 羊 7193143 马 8203244 蛇 9213345 龙 10223446 兔 11233547 虎 12243648 牛 113253749 鼠 2142638
现有一个大型的赌博公司，作为庄家，随机从这四十九个数字中抽取一个作为“开奖码”，彩民可以根据相应的规则进行压彩，压中则赢钱，压输则输钱。其压彩规则主要有以下几种：
- 压单个数字，一赔四十的赔率，本金吃。
- 压单双（奇偶）， 80 % 80\\% 80% 的赔率，本金返还。
- “包头”，亦即以生肖为单位，进行下注，一赔十，本金还。
- 其它方式，诸如“红蓝绿波”的下注方式，由于篇幅限制，这里不再详述。
通过下文的叙述，主要说明及阐述以下三点问题:
-
第一，从时间上看，某个个体长期压，必输；从空间上看，由于此游戏分布足够广，玩的人足够多，每次开奖，作为赌博头子的“六合彩”公司，必然赢钱。
-
第二，大部分彩民存在着一种谬误心理：当单数或者双数开了足够多次了，不在开单数或者双数的可能性大大增加，这时候就可以以“赌金加倍”的形式开始跟踪压彩，只要资产够，最后必赢钱。彩民对“加倍赌注”的策略的信任揭示了人们对可能性的一种误解。
-
第三，求神拜佛信资料，不会增加彩民赢钱的概率，这是不可取的做法。
不公平的游戏
容易看到，在这个赌博中某个彩民一次下注的收益的数学期望值 E ( x ) = − 1 × 48 / 49 + 39 × 1 / 49 ≈ − 0.1834 E(x)=-1 \\times 48 / 49+39 \\times 1 / 49 \\approx-0.1834 E(x)=−1×48/49+39×1/49≈−0.1834（以压单号为例,其它类似），这是个负值。通俗地说，一块钱本该赔四十九块钱，但是只赔了四十块，于彩民而言，这是亏本的。也就是说，在你下注的次数足够多时，对于你压的每一块钱，平均来看，都要亏一角八分钱。
大数定律告诉我们，随着赌博次数（人数）的增加，开出某一个号码的频率会小有波动地稳定在概率附近。通俗地说，这就像是“掷硬币”，随着你掷硬币次数的增加，整体上看，出现正面的次数与总次数的比值会越来越接近二分之一。不难理解，随着下注次数的增加，由于每次“是否中奖”都是随机的，彩民压中的次数（以压单个数字为例）与压的总次数的比值一般会越来越接近 1 / 49 1/49 1/49。由于数学期望是负值，彩民会亏。
有一次在街上，碰到一个熟人，说他认识的 C C C 先生，由于压“六合彩”发财了，我感兴趣的只是这位“幸运的彩民”玩了多久“六合彩”。不妨假设，这个彩民玩了半年的六合彩，每周三次，把把必下注，那么他真的发财的概率（这就是这条消息为真的概率）有多少呢？某个彩民要下注多少次，才能让他输钱的概率足够稳定呢？换句话说，我们知道，彩民压中的频率会随着赌博时间的增长而越来越接近概率，那么彩民究竟要下注多少次，才能使频率足够稳定，足够接近概率呢？下面我用两种方式进行计算。
首先，可用中心极限定理来求解。考虑“某人每次都压一块钱，那么下注的次数 n n n 至少要为多少，才有把握认为这个人不会赢钱”这个问题。不妨记
X i = { 1 , 此人第i次压中 i = 1 , 2 , ⋯ , n 0 , 其他 \\boldsymbol{X}_{i}=\\left\\{\\begin{array}{cc} \\mathbf{1}, & \\text { 此人第i次压中 } & i=1,2, \\cdots, n \\\\ \\mathbf{0}, & \\text { 其他 } \\end{array}\\right. Xi={1,0, 此人第i次压中 其他 i=1,2,⋯,n
则 X 1 , X 2 … X i … X n X_{1}, X_{2} \\ldots X_{i} \\ldots X_{n} X1,X2…Xi…Xn 独立同 0-1 分布,可以用 P ( 40 ∑ i = 1 n X i − n ≤ 0 ) ≤ 95 % \\mathrm{P}\\left(40 \\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \\leq 0\\right) \\leq 95 \\% P(40∑i=1nXi−n≤0)≤95% 来刻画这个问题。
由中心极限定理，
P ( 40 ∑ i = 1 n X i − n ≤ 0 ) ≈ Φ ( n − 40 n p 40 n p ( 1 − p ) + 0.5 ) ≥ 95 % \\mathrm{P}\\left(40 \\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \\leq 0\\right) \\approx \\Phi\\left(\\frac{n-40 n p}{40 \\sqrt{n p(1-p)}}+0.5\\right) \\geq 95 \\% P(40i=1∑nXi−n≤0)≈Φ(40np(1−p)n−40np+0.5)≥95%
其中 p = 1 / 49 p=1 / 49 p=1/49, 计算得到， n n n 至少要为 1244 。通俗地讲，当这个人下注次数达到1244 次时，可以说他几乎已经不可能赢钱了。
下面我选择另一种方式来探讨这个问题。假设某个彩民只以单个号码的形式下注，且每 次都只在一个号码上压一块钱。截止目前共压了 n n n 把。若要以 99 % 99 \\% 99% 来作为一个分位，那么 n n n 到底要多大，才能使这个彩民输钱的概率较为稳定地达到 99 % 99 \\% 99% 呢？事实上，彩民压中的次数 X X X 服从二项分布，即 X ∼ B ( n , 1 / 49 ) X \\sim B(n, 1 / 49) X∼B(n,1/49), 而要赢钱的话，随机变量 X X X 要满足 40 X − n > 0 40 X-n>0 40以上是关于反赌科普宣传——赌徒的谬误的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章