算法设计之图像压缩

Posted 2021-07-28 zqq277

一、基本概念：
像素灰度值为0-255，需要8位二进制数来存储。若一灰度序列为{p1,p2,p3…pn}，pi为第i个像素点的灰度值。则所需的空间为8n。

二、问题提出：
若图像中有一大部分的颜色的相同的或是相近的，能不能有更好的方式存储？

三、解决方案：
将像素点的序列{p1,p2,p3…pn}分为m段，每段是所占位数相近的像素点，得到新序列为{s1,s2,s3…sm},每一段中包含一个或者多个像素点,取这一段中像素占用最大的位数作为当前段所有的像素点所占的位数(如s1中的最大像素是128，则取7位为s1中所有像素的所占的位数)，用L[t]记录第t段中所包含的像素点的个数，每个占用b[t]位（如前面举例的s1是取7位作为此段的像素点所占的位数，若还有其他的需要1位，2位。。。8位，所以b[t]需要3位要标识当前段所占的位数，7位就表示成110，1位就表示成001）。所以我们要引入一个段头来记录当前段的L[t]和b[t]，段头的位数就是L[t]的位数8加上b[t]的位数3,一共是11位。

四、最优子结构性质分析
先从第一元素开始，不断地向集合当中加入元素点。第一个元素点所需要的位数为s[1]=log(p1)1+11(段头长度)，在加入第二个点此处为：
s[2]=min{s[1]+1 * log(p2)+11,s[0]+2max{log(p1),log(p2)}+11},
加入第三个点为：
s[3]=min{s[2]+1log(p3)+11,s[1]+2max{log(p3),log(p2)}+11,s[0]+3*max{log(p1),log(p2),log(p3)}}
依次类推，可得到最优子结构:

等式分析：b max为前面所说的取当前段的最大像素点所占的位数。i为外层循环，i不断地加1，就是不断地往已经选好的最优s[i-1]集合里加像素点。k为内层循环，k增加来寻找当前所有元素点的最优情况，如s[2]、s[3]的样子。k为i和256的最小值，前面规定了一个段不能超过256个，k不能超过i是显而易见的。
源代码如下

#include <iostream> 
using namespace std;
 
long long length(int i);
int a =0;
 
void Compress(int n, int p[], int s[], int l[], int b[])
{
    int Lmax = 255, header = 11;
    s[0] = 0;
 
    //将存入的数字逐一取出
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
 
        b[i] = length(p[i]);//当前数的位数
        int bmax = b[i];
 
        s[i] = s[i - 1] + bmax;//记录
        l[i] = 1;
      
        for (int j = 2; j <= i && j <= Lmax; j++)
        {
            //筛选出最大长度(即与上一次状态的数值的长度比较)
            if (bmax < b[i - j + 1])
            {
                bmax = b[i - j + 1];
            }
 
            //开始累加数 当位数不足时也按照最大长度来表示
            if (s[i] > s[i - j] + j * bmax)
            {
                s[i] = s[i - j] + j * bmax;
                l[i] = j;//记录当前状态位数最大值位置(即分段位置)
            }
        }
        s[i] += header;
    }
}
 
//转二进制数长度
long long length(int i)
{
    int k = 1;
    i = i / 2;
    while (i > 0)
    {
        k++;
        i = i / 2;
    }
    return k;
}
 
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    n += 1;
    int* s = new int[n];
    int* l = new int[n];
    int* b = new int[n];
    int* p = new int[n];
    
    p[0] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        scanf("%d", &p[i]);
    }
    Compress(n - 1, p, s, l, b);
    cout << s[n - 1] << endl;
    return 0;
}

 

实验结果如图