算法设计之矩阵连乘问题

Posted 2021-07-28 zqq277

1、问题描述：

　　给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

2、问题解析：

　　由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

       完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

     （1）单个矩阵是完全加括号的；

     （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC）

      所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。

3、算法思路：

      例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：

      A1：30*35;     A2：35*15;     A3：15*5;     A4：5*10;     A5：10*20;     A6：20*25 

 

 4、递推关系：

      设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。

      当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
      当i<j时，若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1*pk*pj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。

      综上，有递推关系如下：

          

4、计算最优值：

     用动态规划算法解此问题时，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存以解决的子问题的答案，每个子问题只计算一次，而在后面用到时只需要简单查一下，避免了大量的重复计算，最后得到了多项式时间的算法。

　　代码如下：

1 #include<stdio.h>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<stdlib.h>
 5 using namespace std;
 6 const int MAX = 100;
 7 int n;
 8 int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX];
 9 //p用来记录矩阵，m[i][j]表示第i个矩阵到第j个矩阵的最优解，s[][]记录从哪里断开可以得到最优解
10 void matrixChain()
11 {
12     for(int i=1; i<=n; i++)//初始化数组
13         m[i][i]=0;
14     for(int r=2; r<=n; r++)//对角线循环
15     {
16         for(int i=1; i<=n-r+1; i++) //行循环
17         {
18             int j=i+r-1;//列的控制
19             m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//找m[i][j]的最小值，初始化使k=i;
20             s[i][j]=i;
21             for(int k=i+1; k<j; k++)
22             {
23                 int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
24                 if(t<m[i][j])
25                 {
26                     s[i][j]=k;//在k位置断开得到最优解
27                     m[i][j]=t;
28                 }
29             }
30         }
31     }
32 }
33 void traceback(int i,int j)
34 {
35     if(i==j)
36         return;
37     traceback(i,s[i][j]);
38     traceback(s[i][j]+1,j);
39     cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
40 }
41 int main()
42 {
43     cin>>n;
44     for(int i=0; i<=n; i++)
45         cin>>p[i];
46     matrixChain();
47     traceback(1,n);
48     cout<<m[1][n]<<endl;
49     return 0;
50 }

结果如图所示：

 

 

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