光学算法——PSD功率谱密度

Posted 2021-07-28 翟大宝Steven

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了光学算法——PSD功率谱密度相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

作者：Steven
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前言

在光学高精度测量领域，有众多评价测量面形的指标，其中PSD（功率谱密度）是针对中频面形误差评价的重要参数。

本文简单介绍了PSD的相关知识，包括PSD简述、原理及实现、C++代码实现、PSD优点和参考文献。

一、PSD简介

在移相干涉测量领域，面形误差评价是非常重要的环节，结合多种评价参数进行评估，可以获取被测物的相关质量信息以及测量的准确度。常见的评价参数有PV值（峰谷差）、RMS值（均方根）、Zernike多项式拟合系数等等，它们有各自的特点和内在联系。

在大功率激光器件出现后，中频面形误差评价引起了光学检测领域的重点关注，过往的评价指标难以较好得应用在中频信息的分析上。为了更好地研究中频面形误差，众多光学领域的学者采用了PSD（功率谱密度）作为评价中频面形的指标，这也是目前针对中频部分面形误差评价的最好方法。

下面介绍下功率谱密度的原理和实现。

二、原理及实现

在对光学表面面形分析时，PSD定义为波面频率分量傅里叶频谱振幅的平方，一维公式为：

$\\mathrm{PSD}(\\mathrm{f})=\\frac{[\\mathrm{A}(\\mathrm{f})]^{2}}{\\Delta \\mathrm{f}}$

（1）

公式(1)中， $\\Delta \\mathrm{f}=\\mathrm{f}_{\\mathrm{i}+1}-\\mathrm{f}_{\\mathrm{i}}, \\mathrm{i}=1,2,3 \\ldots$ ，A(f)是z(x)的一维傅里叶变换：

$A(f)=\\int_{0}^{L} z(x) \\exp (-j 2 \\pi f x) d x$

（2）

公式(2)中z(x)的一维波面信息函数。

移相干涉仪所测得的波面数据都是离散的，因此将公式(2)的A(f)代入公式(1)，并离散化，可以得到公式(3)：

$\\operatorname{PSD}(\\mathrm{m})=\\frac{\\Delta \\mathrm{x}}{\\mathrm{N}}\\left|\\sum_{0}^{\\mathrm{N}-1} \\mathrm{z}(\\mathrm{n}) \\exp (-\\mathrm{j} 2 \\pi \\mathrm{mn} / \\mathrm{N})\\right|^{2},-\\mathrm{N} / 2 \\leq \\mathrm{m} \\leq \\mathrm{N} / 2$

（3）

公式(3)中N为总的采样点数， $\\Delta x$ 为采样间隔（每隔多少mm进行一次采样），m为频率离散自变量，z(n)为被测波面的采样点数据。

公式(1)中频率域的自变量f表示为公式(4)：

$\\mathrm{f}=\\frac{\\mathrm{m}}{\\mathrm{N} \\Delta \\mathrm{x}}$

（4）

PSD和f的自变量都是m，所以在求解PSD和f的关系时，只需要求对应m下的PSD和f即可。

结合公式(3)，对面形的某一一维切片数据进行一维PSD计算，可得到如图1所示的PSD曲线。

如上图所示，横坐标是f，纵坐标是PSD，两项数据均取了log10，目的是为了更好地观测曲线的细节。f的单位是 $(\\mathrm{mm})^{-1}$ ，PSD的单位是 $\\lambda^{2} \\mathrm{~mm}$ 。注意：PSD的单位也可以是 $\\mathrm{nm}^{2} \\mathrm{~mm}$ ，这取决于z(n)函数的波面数据单位。\\

一般PSD曲线上还会增加一条控制线，用于评估被测物品的面形质量，若曲线均低于控制线，则说明产品符合要求。

控制线标准公式(5)为：

$\\operatorname{PSD}(\\mathrm{f})^{\\prime}=\\frac{\\mathrm{A}}{\\mathrm{f}^{\\mathrm{B}}}, \\quad \\mathrm{C} \\leq \\mathrm{f} \\leq \\mathrm{D}$

（5）

式中，f为空间频率，A为比例系数，B为幂指数，一般取值1到3，C和D分别是最小和最大空间频率。

二维PSD的计算方式同一维相比，实现了全平面的分析，而公式也是从x单方向变为x和y双方向，具体实现可参考宋德臣的《波面PSD的干涉测试与计算软件研究》论文。

三、C++测试代码

#include<iostream>
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<ctime>
using namespace std;
using namespace cv;

#define PI 3.1415927
cv::Mat Psd(const cv::Mat Slice, double pixel_mm);

int main(void)
{
	cv::Mat temp = cv::Mat::zeros(1, 1000, CV_64FC1);
	for (int i = 0; i < temp.cols; i++)
	{
		temp.at<double>(0, i) = cos(2 * PI * 40 * i / (temp.cols)) + 3 * cos(2 * PI * 100 * i / (temp.cols));
	}
	cv::Mat result = Psd(temp, 1);

	// 创建用于绘制的黑色背景图像
	cv::Mat image = cv::Mat::zeros(250, 600, CV_8UC3);
	image.setTo(cv::Scalar(0, 0, 0));
	// 输入点
	std::vector<cv::Point> points;
	for (int i = 0; i < result.rows; i++)
	{
		points.push_back(cv::Point(result.at<double>(i, 1), (2500 - result.at<double>(i, 0)) / 10));
	}
	// 绘制折线
	cv::polylines(image, points, true, cv::Scalar(0, 255, 0), 1, 4, 0);

	cv::imshow("image", image);

	waitKey(0);
	system("pause");
	return 0;
}

// 计算psd
// 第一个输入是数据（一维），第二个输入的数值是每mm代表的像素个数
cv::Mat Psd(const cv::Mat Slice, double pixel_mm)
{
	CV_Assert(Slice.type() == CV_64FC1);
	CV_Assert(Slice.rows == 1);
	// dxy就是采样的步进值，我这里把数据每个都计算了，步进值就是一个像素值
	// 比如我输入的pixel_mm是60，则说明现实1mm等于图像的60pixel
	// 一个像素值的现实尺寸就是1/60（mm）
	double dxy = 1.0f / pixel_mm;
	// 计算x方向的psd
	std::vector<double> slice;
	for (int i = 0; i < Slice.cols; i++)
	{
		// 这里之所以判断==，是因为我的图像中掩膜外区域是NaN值
		// 判断NaN的方法就是==，如果不等于则是NaN
		if (Slice.at<double>(0, i) == Slice.at<double>(0, i))
		{
			slice.emplace_back(Slice.at<double>(0, i));
		}
	}
	int Slicesize = static_cast<int>(slice.size());
	cv::Mat PSD = cv::Mat::zeros(Slicesize / 2, 2, CV_64FC1);// 第一行是psd数值，第二行是对应的坐标
	cv::Mat PSD_LOG10 = cv::Mat::zeros(Slicesize / 2, 2, CV_64FC1);// 对数处理后的psd
	// m执行0到N/2，是因为另一半是对称的，只选取右边一半即可，感兴趣的可以自己试试
	// 看看欧拉公式就知道怎么回事了
	for (int m = 0; m < (Slicesize / 2); m++)
	{
		double sum_real = 0.0f;
		double sum_imag = 0.0f;
		for (int n = 0; n < Slicesize; n++)
		{
			std::complex<double> v(0, -2 * PI*m*n / double(Slicesize));
			std::complex<double> r = std::exp(v);
			sum_real += slice[n] * r.real();
			sum_imag += slice[n] * r.imag();
		}
		PSD.at<double>(m, 0) = (sum_real * sum_real + sum_imag * sum_imag)*dxy / (Slicesize);
		PSD_LOG10.at<double>(m, 0) = log10f(PSD.at<double>(m, 0));

		// 该横坐标单位是mm^-1
		//PSD.at<double>(m, 1) = m / ((Slicesize-1)*dxy);
		//PSD_LOG10.at<double>(m, 1) = log10f(PSD.at<double>(m, 1));

		// 该横坐标用来表示当前是第几个数据
		PSD.at<double>(m, 1) = m;
		PSD_LOG10.at<double>(m, 1) = m;
	}
	return PSD;
}

四、Matlab测试代码

clear;
Fs=1000;
n=0:1/Fs:1-1/Fs;
y=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n);
Nfft=length(y);
% C++代码的matlab版本
result=zeros(1,round(Nfft/2));
for i=1:round(Nfft/2)+1
    sum_real=0;
    sum_imag=0;
    for p=1:Nfft
        r=exp(-1i*2*pi*(i-1)*p/Nfft);
        sum_real=sum_real+y(p)*real(r);
        sum_imag=sum_imag+y(p)*imag(r);
    end
    result(i)=abs(sum_real*sum_real+sum_imag*sum_imag)/Nfft;
end
% matlab自带的psd函数，比较新版本的matlab已经删除了这个函数
% 所以需要找到老版本的psd.m还有相关的配套函数才能使用
% 我有空时会将相关函数打包放在网盘供大家使用
window=boxcar(Nfft); %矩形窗   
[Pxx,f]=psd(y,Nfft,Nfft,window);

注意psd默认窗函数不是矩形窗，因为我C++代码没加汉宁窗等窗函数，不加窗就是矩形窗，因此在Matlab里需要创建矩形窗；除此之外，输入的Nfft也很重要，测试代码里创建的仿真函数总共有1000个点，从0开始到1-1/Fs，如果从0到1就是1001个点，1其实就是下个大周期里的0；C++里我写的psd函数没有输入Nfft值，是因为我默认这个值等于Slice的长度，因此Matlab测试代码里Nfft也等于length(y)。

五、测试效果对比

从图1图2可以看出，C++代码用Matlab实现后对比，效果同Matlab自带的psd一致，我仿真的函数100应该属于目标值，在数据里也就是第101个点（从0开始计数），观察该位置的数据，两者得到的值均为2250；而第100个点（相对无关点）的结果有差异是因为两个值都非常接近于0，考虑到计算精度、单位精度等原因，这个差异是可以接受的。

从图3看出，两个目标值都对应峰值，说明计算准确。

从图4图5看出，第101个点的数值计算非常准确，第100个点同Matlab又有了进一步的差异，属于精度差异，可以忽略，如果想追求计算的绝对精准，可以研究下C++和Matlab底层数据计算逻辑以及不同数据结构精度差异。

图6是我用OpenCV随便写的图，比较简陋，但是可以看出同Matlab是一致的。

六、PSD优点

用PSD来评价测量所得波面数据有如下优点：

通过PSD曲线，能得到丰富的面形特征信息。功率谱密度的实质是傅里叶频谱分析，获取各个频率分量的傅里叶频谱振幅平方，如公式(1)所言，量化了被测物表面轮廓在各个空间频率区间的误差，尤其便于评估中频波面误差，这是其他评价参数难以分析的。
PSD曲线评价结果直观且便捷。通过增加PSD控制线的方式，基于不同精度要求给出不同参数的控制线，可以直观地从曲线图中看出不合格的频率区间，进而根据不同的曲线特征快速分析误差产生原因，大大提高工作效率。

综上所述，PSD（功率谱密度）对光学检测和分析提供了重要的数据支持，是我们光学领域非常关键的一项评价参数。