[M背包] lc494. 目标和(暴力dfs+01背包)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

文章目录

• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：494. 目标和

2. 题目解析

暴力擦边能过，01 背包是正解。

首先数据范围很小，最长 20 个数，每个数正负两种情况，则总共 2^20 种情况，暴力 dfs，或者二进制枚举勉强能过。

其次，本题还是落到了选不选问题上了，终究还是一个有限制的选择问题，故本质就是一个背包问题，在这就是个 01 背包求方案数问题了。

思路：

• 状态定义：f[i][j] 表示选择了前 i 个数总和为 j 的方案数。
• 答案：f[n][target]
• 初始化：f[0][0]=1
• 状态转移：针对第 i 个数选法有两种情况：
  • a[i] 为正，则 f[i][j] += f[i-1][j-a[i]]
  • a[i] 为负，则 f[i][j] += f[i-1][j+a[i]]
  • 以上两种均需要提前保证 j+-a[i] 下标合法

注意，本题由于 j 可能为负，所以针对第二维需要加上偏移量，将其映射到正数下标来。

---

时间复杂度：$O(n)$

空间复杂度：$O(n)$

---

直接暴搜，$O(2^n)$

class Solution {
public:
    int res = 0;
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        dfs(nums, target, 0, 0);
        return res;
    }

    void dfs(vector<int> &nums, int target, int u, int sum) {
        if (u == nums.size()) {
            if (sum == target) res ++ ;
        } else {
            dfs(nums, target, u + 1, sum + nums[u]);
            dfs(nums, target, u + 1, sum - nums[u]);
        }
    }
};

---

正解 01 背包：$O(n\ast sum)$

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size(), B = 1000;
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(2005));

        f[0][0 + B] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
            for (int j = -1000; j <= 1000; j ++ ) {
                if (j - nums[i - 1] >= -1000) f[i][j + B] += f[i - 1][j - nums[i - 1] + B];
                if (j + nums[i - 1] <= 1000) f[i][j + B] += f[i - 1][j + nums[i - 1] + B];
            }
        
        return f[n][target + B];
    }
};