[A*] aw178. 第K短路(A*+bfs最小步数模型+好题)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：178. 第K短路

相关：

• [A*] aw179. 八数码(A*+bfs最小步数模型+模板题)

2. 题目解析

$A^{\ast }$ 算法先去看 [A*] aw179. 八数码(A*+bfs最小步数模型+模板题) 。

本题有一个坑点需要注意，每条最短路至少包含一条边，当起点与终点相同时，需要将 K ++。

需要求解从起点到终点的第 k 短路，则我们每次都需要枚举该点的所有出边，将所有的边全部枚举到才能选出最短的 k 条边。所以解空间就非常大，$A^{\ast }$ 算法就能派上用场了。

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估价函数设置为每个点到终点的最短距离， 这样不论什么情况下，该点到终点的估计距离一定小于等于真实距离。在实际操作中，只需要将图中边的方向反过来，以终点作为起点，做一遍 dijkstra() 即可得到终点到每个点的最短路，以它来作为估价值。

由于每个点都会出队很多次，且但终点第一次出队时就找到了起点到终点的最短路，那么当终点第二次、第三次出队，是否是第二短路、第三短路呢？

• 其实证明方式与终点第一次出队为最短路一样，都是反证法。
• 如果不为第二短路、第三短路，那么第二短路、第三短路上的点一定还在队列中，其到终点的距离一定更短，一定更先出队。发生矛盾。

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这里新加了一个剪枝，记录每个点出队时的次数。在有解时，要取得第 K 短路，每个点最多只能走不超过 K 次，如果超过 K 次的话，这个点每次都能走到终点，那么我们就有 >K 条路可以到达终点， 所以这时到达的终点一定不是第 K 短路。

---

很优秀就完事了

时间复杂度：$O()$

空间复杂度：$O()$

---

这个剪枝需要注意下，cnt 数组记录出队点的次数，是个优秀的剪枝，不过没太懂是啥意思。

貌似是用来判断无解情况的，可以先判断 if(d[s]==0x3f3f3f3f) return -1 说明不连通，直接输出 -1 即可。

下面的原版代码在起点终点不连通时，终点始终不会出队，cnt 一直不会增加，while 循环就是个死循环。但是修改过之后，拿了 K 作为每个点入队列次数的限制，即如果出队 K 次之后就不能再入队了之后队列就会被清空， 这个貌似是个剪枝，但是思考并不自然，也是能够处理无解情况，但显然不够优雅。

/*
TLE 样例
3 2
1 2 1
2 1 1
1 3 1000
*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, pair<int, int>> PIII;

const int N = 1010, M = 2e5 + 5;       // 建正向、反向边，边的空间需要两倍

int n, m, S, T, K;
int h[N], rh[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N], cnt[N];                   // 记录每个点到达的终点
bool st[N];

void add(int h[], int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 堆优化dijkstra() 求终点到起点反相边的最短距离
void dijkstra() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;

    heap.push({0, T});
    dist[T] = 0;
    
    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top(); heap.pop();

        int v = t.first, idx = t.second;
        if (st[idx]) continue;
        st[idx] = true;

        for (int i = rh[idx]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[idx] + w[i]) {
                dist[j] = dist[idx] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
}

int astar() {
	// if(d[s]==0x3f3f3f3f) return -1;	// 应该加上无解情况的判断，代替这个cnt剪枝
    priority_queue<PIII, vector<PIII>, greater<PIII>> heap;
    heap.push({dist[S], {0, S}});

    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top(); heap.pop();

        int v = t.second.first, idx = t.second.second;
        cnt[idx] ++ ;                                   // 记录每个点到达的次数
        if (cnt[T] == K) return v;

        for (int i = h[idx]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (cnt[j] < K) {                           // 新加的
                // S---i  v, i--j w[i] 估价 dist[j]
                heap.push({v + w[i] + dist[j], {v + w[i], j}});       // 将临边全部加入队列
            }
        }
    }

    return -1;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(rh, -1, sizeof rh);

    for (int i = 0; i < m; i ++ ) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(h, a, b, c);
        add(rh, b, a, c);
    }

    scanf("%d%d%d", &S, &T, &K);
    if (S == T)  K ++ ;             // 至少包含一条边，

    dijkstra();
    printf("%d\\n", astar());

    return 0;
}

---

TLE 版本：

// TLE 的版本
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, pair<int, int>> PIII;

const int N = 1010, M = 2e5 + 5;       // 建正向、反向边，边的空间需要两倍

int n, m, S, T, K;
int h[N], rh[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(h[], int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 堆优化dijkstra() 求终点到起点反相边的最短距离
void dijkstra() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;

    heap.push({0, T});
    dist[T] = 0;
    
    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top(); heap.pop();

        int v = t.first, idx = t.second;
        if (st[idx]) continue;
        st[idx] = true;

        for (int i = rh[idx]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[idx] + w[i]) {
                dist[j] = dist[idx] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
}

int astra() {
    priority_queue<PIII, vector<PIII>, greater<PIII>> heap;
    heap.push({dist[S], {0, S}});

    int cnt = 0;                // 记录次数
    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top(); heap.pop();

        int v = t.secod.first, idx = t.second.second;
        if (idx == T) cnt ++ ;
        if (cnt == K) return v;

        for (int i = h[idx]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            // S---i  v, i--j w[i] 估价 dist[j]
            heap.push({v + w[i] + dist[j], {v + w[i], j}});       // 将临边全部加入队列
        }
    }

    return -1;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(rh, -1, sizeof rh);

    for (int i = 0; i < m; i ++ ) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(h, a, b, c);
        add(rh, b, a, c);
    }

    scanf("%d%d%d", &S, &T, &K);
    if (S == T)  K ++ ;             // 至少包含一条边，

    dijkstra();
    printf("%d\\n", astar());

    return 0;
}