[dfs] aw165. 小猫爬山(dfs剪枝与优化+好题)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

文章目录

• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：165. 小猫爬山

相似的搜索顺序：

• [dfs] aw843. n-皇后问题(模板题+经典)
• 不错的题解，提供了两种方式。
• 完全一致：[dfs] aw1118. 分成互质组(dfs搜索顺序+dfs状态定义+最大团+好题)

2. 题目解析

有关搜索顺序：

• 本题和 [dfs] aw1118. 分成互质组(dfs搜索顺序+dfs状态定义+最大团+好题) 的搜索顺序一致。顺序枚举每个猫，枚举所有组，看当前猫能放到哪个组中即可。 这样一定能枚举到所有情况，记录最小组数即可。

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dfs 四大优化：

• 优化1：优化搜索顺序。在有剪枝的存在下，优化搜索顺序很重要。优先搜索分支较少的节点。 在本题中，我们在枚举猫放小车时，按猫的体积从大到小开始枚举，这样体积大的猫放进去使得剩余空间变小，剩余的可选情况变少，分支变少。 一个形象的例子就是，如果这个胖猫体积直接是车的体积，那么后面一系列就不需要枚举了。而这个轻猫体积很轻，后面还有一长串需要枚举的体积和猫。
• 优化2：排除等价冗余。这点主要是针对组合类型枚举使用，例如求 n 个苹果中选 3 个，问选的所有方案。那么这些方案内的苹果顺序是无关的，所以是组合，而不是排列。故按照组合类型枚举，传入下标，保证下标单调性，会大大提高搜索效率！在本题中未使用，因为本题按照猫顺序枚举，已经不会发生重复情况。但在 [dfs] aw1118. 分成互质组(dfs搜索顺序+dfs状态定义+最大团+好题) 中，枚举组或者枚举车的话，就会出现重复情况，需要用组合枚举来加快枚举顺序。
• 优化3：可行性剪枝。在枚举过程中发现已经不满足限制条件时，不可能达到最优解时，直接返回即可，进行剪枝。在本题中及 [dfs] aw1118. 分成互质组(dfs搜索顺序+dfs状态定义+最大团+好题) 均有体现。
• 优化4：最优性剪枝。在枚举过程中发现中间值已经无法更新最优解时，直接返回即可。在本题中及 [dfs] aw1118. 分成互质组(dfs搜索顺序+dfs状态定义+最大团+好题) 均有体现。

至于 dfs记忆化搜索，那属于 dp，在此不讨论。

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体会这四大优化，好好写暴力！

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时间复杂度：$O(指数级)$

空间复杂度：$O(n)$

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写法 1，写法简洁，推荐。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 25;

int n, m;
int w[N];
vector<int> g[N];
int res = 1e9, len = 0;

void dfs(int u) {
    // 最优性剪枝
    if (len >= res) return ;
    
    // 搜到答案
    if (u == n) {
        res = min(res, len);
        return ;
    }

    for (int i = 0; i < len; i ++ ) {
        int t = 0;
        for (int j = 0; j < g[i].size(); j ++ ) t += g[i][j];

        // 可行性剪枝
        if (m - t >= w[u]) {    
            g[i].push_back(w[u]);
            dfs(u + 1);
            g[i].pop_back();
        }
    }

    g[len ++ ].push_back(w[u]);
    dfs(u + 1);
    g[ -- len].pop_back();
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", w + i);
    
    // 优化搜索顺序
    sort(w, w + n, greater<int>());

    dfs(0);

    printf("%d\\n", res);

    return 0;
}

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写法 2，空间更少，更加容易理解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 25;

int n, m;
int w[N];
int sum[N];
int res = 1e9;

// 枚举到第 u 个数，共 k 组
void dfs(int u, int k) {
    // 最优性剪枝
    if (k >= res) return ;
    
    // 搜到答案
    if (u == n) {
        res = min(res, k);
        return ;
    }

    for (int i = 0; i < k; i ++ ) {
        // 可行性剪枝
        if (sum[i] + w[u] <= m) {    
            sum[i] += w[u];
            dfs(u + 1, k);
            sum[i] -= w[u];
        }
    }

    // k 为下标就是新的一组
    sum[k] = w[u];
    dfs(u + 1, k + 1);
    sum[k] = 0;                 // 恢复现场
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", w + i);
    
    // 优化搜索顺序
    sort(w, w + n, greater<int>());

    dfs(0, 0);

    printf("%d\\n", res);

    return 0;
}