[dfs] aw168. 生日蛋糕(dfs剪枝与优化+分类讨论+思维+公式推导+数学+好题)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：168. 生日蛋糕

2. 题目解析

非常非常经典的题目，优化很难…

首先的首先，理解题意，问题抽象。在总体积为 n，总层数为 m 的情况下确定每层的 r 和 h，使得要去的蛋糕外表面积最小。

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首先确定枚举顺序，枚举每层情况，再枚举每层的 r 和 h，保证 r、h 是递增的整数。枚举的种类是指数级别的，需要加入大量剪枝才可能通过本题。

优化：

• 优化搜索顺序：从底向上枚举蛋糕每一层，因为底层占用体积大，后续分支少。每层中先枚举 r 再枚举 h 且也是从大到小枚举，因为 r 是平方级别，变化快。
• 可行性剪枝与最优化剪枝：
  • 如果上一层半径和高度确定，那么对于本层来讲，半径最少是所在的层高，因为最小高度是 1，最大不能比下一层大。高度同样如此。故高度和半径都在枚举时有范围限制。
  • 如果前面所有层已经用了 v 体积和 s 表面积，那么如果后面所有层即便按照最小半径、高度分配也无法构成蛋糕或者更新最优解的话，也可以直接返回。
  • 推导体积和表面积公式之间的联系，这个是最难的，如果不加这个条件，在数据较强的情况下容易 TLE。用体积估算前 u 层的最小表面积。

太难了。

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具体剪枝推导，来自大佬：

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自己的手写笔记，比较乱：

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时间复杂度：$O(指数级)$

空间复杂度：$O(n)$

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include  <cmath>

using namespace std;

const int N = 25;

int n, m;
int minv[N], mins[N];
int R[N], H[N];
int res = 1e9;

// 自底向上，处理第 u 层，v 为之前的总体积，s 为之前的表面积
void dfs(int u, int v, int s) {
    if (v + minv[u] > n) return ;           // 可行性剪枝
    if (s + mins[u] >= res) return ;        // 最优性剪枝
    if (s + 2 * (n - v) / R[u + 1] >= res) return ;     // 体积和面积关系，剪枝

    if (!u) {                               // 搜完所有层
        if (v == n) res = s;                // 如果体积恰好等于 n，则此时的 s 一定可以更新 res
        return ;
    }

    // 先枚举 r，再枚举 h，且从大到小枚举
    for (int r = min(R[u + 1] - 1, (int)sqrt(n - v)); r >= u; r -- ) 
        for (int h = min(H[u + 1] - 1, (n - v) / r / r); h >= u; h -- ) {
            int t = 0;
            if (u == m) t = r * r;  // 如果是底层，直接加上圆柱的红色面积，然后每层只需要加上侧面积即可
            R[u] = r, H[u] = h;     // 第 u 层的半径和高度确定
            dfs(u - 1, v + r * r * h, s + 2 * r * h + t);
        }
    
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        minv[i] += minv[i - 1] + i * i * i;         // r^2*h    r=h=1
        mins[i] += mins[i - 1] + 2 * i * i;         // 侧面积
    }

    // 设置两个哨兵，关于 r[u], h[u] 的范围限制时，需要用到 r[u+1]，h[u+1] 来取 min，所以需要设置两个哨兵
    R[m + 1] = H[m + 1] = 1e9;

    // 从 m 层开始，当前体积、表面积都是 0
    dfs(m, 0, 0);

    if (res == 1e9) res = 0;                        // 无解情况
    printf("%d\\n", res);

    return 0;
}