[dfs] aw171. 送礼物(双向dfs+算法技巧+思维+好题)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

文章目录

• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：171. 送礼物

相关：[bfs] aw175. 电路维修(双端队列广搜+dijkstra理解+好题+难题)

2. 题目解析

从题目来理解双向 dfs。

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本题在思想上显然是一个 01 背包裸题，但是由于数据范围过大，使用 01 背包会超时，且背包容量在此是在 $[1,2^{31}-1]$ 之间的，所以数组元素也开不下。

可以通过暴搜枚举每种物品选不选两种情况得到所有方案，思想等同于二进制枚举。但是时间将会达到 $2^{46}$ 的复杂度。

在此采用空间换时间的方法：

• 首先，预处理暴力枚举前半段的所有物品选择情况，这样就能得到前半段所能拼出的物品的合法重量了。
• 然后，再暴力枚举后半段所有物品的选择情况，针对每一种情况，假设后半段该情况下物品重量为 s，那么需要在前半段预处理的物品中选择一种方案，其重量为 x，且 x+s<=m，求这个 x 的最大值。
• 这样就能得到后半段每种情况下对应的前半段方案中，所能取得的物品最大重量。

这样就将一个 $2^{46}$ 的纯暴力枚举变成了 $2^{23}+2^{23}\ast lo{g}_2^{2^{23}}=2^{23}+23\ast 2^{23}$，其中 $2^{23}$ 大约是 8*10^6，再乘 23，大约是 1.6*10^8，也会有超时风险。

我们可以发现，时间复杂度被分为两部分，前半段、后半段。其中，后半段多了对前半段的二分的时间复杂度。所以，我们可以将前半段变长一些，后半段变短一些，这样后半段暴力枚举时间再乘以二分前半段时间将和前半段差不多。这样时间复杂度就能稍微均衡一点。 $2^{25}+2^{21}\ast lo{g}_2^{2^{25}}=2^{25}+25\ast 2^{21}=16\ast 2^{21}+25\ast 2^{21}\approx 10^8$ 这样就能过了。

手写笔记，字迹潦草！

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时间复杂度：$O(2^k+2^k\ast lo{g}^k)$，其中 $k\approx \frac{N}{2}$

空间复杂度：$O(1<<k)$

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 46, M = 1 << 25;

int n, m, k;
int w[N];
int weight[M], cnt = 1;     // 记录前半段能凑出来的重量个数，0 也是前半段可凑的，所以 cnt 应该从 1 开始
int res;

// 预处理前半段物品所有选择方案，类比二进制枚举方式
// 枚举到 u 物品，当前方案已选取 s 重量
void dfs1(int u, int s) {
    if (u == k) {
        weight[cnt ++ ] = s;
        return ;
    }
    
    // 不选这个物品
    dfs1(u + 1, s);
    
    // 选这个物品。可行性剪枝，如果当前选上这个物品后，重量没超过 m，则可以选择
    if ((LL)s + w[u] <= m) dfs1(u + 1, s + w[u]);
}

// 枚举后半段物品所有选择方案，二分查找对应的前半段最小的选取重量，前半段可以不选，重量为 0
// 枚举到 u 物品，当前方案已选取 s 重量
void dfs2(int u, int s) {
    if (u == n) {
        int l = 0, r = cnt - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (weight[mid] <= m - s) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        
        res = max(res, weight[l] + s);
        return ;
    }
    
    // 不取 u
    dfs2(u + 1, s);
    
    // 取 u，
    if ((LL)s + w[u] <= m) dfs2(u + 1, s + w[u]);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &m, &n);
    
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", w + i);
    
    // 优化搜索顺序
    sort(w, w + n, greater<int>());
    
    k = n / 2 + 2;          // 小优化，平衡两个 dfs 操作的计算量
    
    // 预处理前半段能凑出来的所有重量
    dfs1(0, 0);
    
    sort(weight, weight + cnt);
    cnt = unique(weight, weight + cnt) - weight;     // 去重，cnt 为前半段能凑出的不同重量个数
    
    // 枚举后半段所有方案下搭配前半段所有重量中，最大的重量
    dfs2(k, 0);
    
    printf("%d\\n", res);
    
    return 0;
}